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摘要: 常数变易法是求解一阶非齐次线性微分方程通解的有效方法,本文将从求解一阶非齐次线性微分方程出发,将其推广至求解高阶非齐次线性微分方程,从而得到常数变易法求解的基本思路步骤以及其通解公式.
毕业论文关键词: 常数变易法,齐次,通解52493
Abstract: The variation of constants method is an effective method for solving first order inhomogeneous linear differential equations, we will start from the solution of first order nonhomogeneous linear differential equation, which is extended to solve higher-order nonhomogeneous linear differential equation, and basic idea of variation of constants method for solving steps and its general formula are obtained.
Keywords: The variation of constants method, homogeneous, general solution
目 录
1 引言 3
2 常数变易法在一阶非齐次线性微分方程求解中的应用 4
3 常数变易法在高阶非齐次线性微分方程求解中的应用 8
结 论 15
参考文献 16
致 谢 17
1 引言
常数变易法是常微分方程学科所特有的一种方法,是连接非齐次线性微分方程与对应齐次线性微分方程的桥梁.它是十八世纪数学家采用各种特殊的技巧对付不同的方程,而产生的解常微分方程的数学理论.它是由约翰第一·伯努利首先提出,欧拉和拉格朗日推广沿用至今的解微分方程的特殊的技巧.常数变易法实际上亦是一种变量变换的方法,用它求解一阶非齐次线性微分方程与变量变化并无原则区别,但将它推广至高阶线性微分方程就显示出了它的作用之巨大.它的优点是比变量变换更容易掌握,是一种稳定的求解方法,其本身的思路已经是完善的了,运用广泛,能够解一阶线性微分方程（组）和高阶线性微分方程.常数变易法求解有两种方法,一是利用常数变易法的基本思路步骤来进行求解,二是直接用其推导出来的常数变易法的求解公式.本文,我们将推导出常数变易法求解一阶非齐次线性微分方程步骤及求解公式,从而推广至求解高阶非齐次线性微分方程的步骤及求解公式.
那么常数变易的思想是如何提出来的呢？在微分方程发展最初期,不仅人们所认识的方程类型非常有限,所用到的解决方法也非常简单,初等积分的方法即为其中之一,这种方法需要将不同形式的方程转化为可以积分的形式.对于一阶齐次线性微分方程 ,源'自^751;文,论`文'网]www.751com.cn
可以用变量分离的方法解得 对于一阶非齐次线性微分方程
注意到其解 是 的函数表达式,所以方程右端可以写为:
(尽管此时 表达式未知),
这时即可分离变量,将方程写为:
从而形式上可积分,得 ,因为其中的 未知,所以 未知,可以记为 ，即该方程的形式解为 ,将该形式解带入原方程解之可得 表达式,再代入形式解可得通解.对比非齐次线性微分方程与相应齐次线性微分方程,两者通解在形式上的差别就在于后者中的常数 在前者中变易为函数 ,这也正是常数变易法的思路 .
2 常数变易法在一阶非齐次线性微分方程求解中的应用
对于一阶线性方程 ,
其中 , 在考虑的区间上是 的连续函数.当 时,方程 变为 ,