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摘要本文主要研究了组合恒等式证明中的概率模型方法.首先，我们根据不同类型的组合恒等式建立了恰当的概率模型；然后，我们计算了模型中有关事件的概率；最后，我们利用概率论中的一些结论给出了若干组合恒等式的证明.
毕业论文关键词：基础概率模型 组合恒等式 完备事件组 概率的性质52848
The Method of Probability Model in Proofs of Combinatorial Identities
Abstract
In this paper, we mainly study the method of probability model in proofs of combinatorial identities. We first construct proper probability models according to different types of combinatorial identities. Then we calculate the probabilities of the events in these models. At last, we prove several combinatorial identities by some results in the theory of probability.
Key words：basic probability model combinatorial identities exhaustive events properties of probability
目 录
摘要-3
Abstract--4
目录-5
1 引言-6
2 抛硬币模型-7
3 取球模型-8
4 抽元素模型-11
5 选人模型-13
5 结论--17
参考文献-18
致谢- 19
1 引言
证明组合恒等式的方法多种多样.王向东在《组合恒等式证明的几种方法》一文中列举了利用组合数的定义法、公式法、迭加法、递推法、逆序相加法、母函数法、积分法等16种证明方法，柴学林也在《组合恒等式的证明方法》一文中列举了辅助函数法、微分法、利用复数的性质法、数学归纳法、利用组合数的意义法等证明方法，从这两篇文章足以可见证明组合恒等式的途径之多，但是对于一些特殊的组合恒等式，若我们构造概率模型、假设有关事件，运用概率论中的知识来证明往往更加简便，对于组合恒等式的应用也带来不少方便.徐利治老先生在《组合数学的发展趋势及关于发展研究的建议》一文中，明确指出组合数学中一个比较活跃的现象是概率方法的研究，而且提出模式化、模型这两个词.故而对于组合恒等式的证明而言，概率模型法有着广阔的研究前景.本文构造的基础概率模型，可以为组合恒等式的证明提供便于应用的工具.在应用概率模型证明组合恒等式中往往会用到下列完备事件组的定理和概率的性质.
定理 若 构成一完备事件组，即 两两不相容，且 ，则源-自/751+文,论^文'网]www.751com.cn
.特别地，对任一事件A，有 .
概率的基本性质:
(1) 非负性：对任意可度量区域 , ；
(2) 规范性： ；
(3) 可列可加性：若 为 中一列可度量的且两两不相交的区域， 也可度量，则
2.抛硬币模型
例1.（1） ；证明：(1)构造将一枚均匀硬币向桌面抛掷 次的概率模型.设事件 表示“将一枚硬币向桌面抛掷 次”.将所有可能出现的情况分为 类，第一类是 次抛掷硬币中有0次正面向上的情况，共有 种，设为事件 ；第二类是 次抛掷硬币中有1次正面向上的情况，共有 种，设为事件 ；第三类是 次抛掷硬币中有2次正面向上的情况，共有 种，设为事件 ；以此类推，第 类是 次抛掷硬币中有 次正面向上的情况，共有 种，设为事件 .事件 两两为互斥事件，所以由 可得
.即 .证毕.（2）本题证明时所构造的概率模型与第（1）题相同，本题可以在第（1）题的基础上得到.将组合恒等式作恒等变形得
.故而只要证明变形后组合恒等式的左边等于右边.根据抛硬币模型对其赋予实际意义：设事件 为“抛 次硬币出现偶数次正面向上”，则组合恒等式左边计算的是事件 的概率 ，右边是抛 次硬币出现奇数次正面向上的概率 ，在把均匀的硬币抛掷 次的试验中，出现偶数次正面向上的概率和出现奇数次正面向上的概率是相等的，都为 .所以