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1）若 可逆，则 ；
2）若 可逆，则 .
定理4 设 是一个四分块 阶方阵，其中 为 矩阵， 为 阶矩阵， 为 阶方阵， 为 矩阵，则有
1)若 可逆，则 ；源'自:751]'[论.文'网"]www.751com.cn
2)若 可逆，则 .
利用上述定理，在某些情况下计算行列式会很方便.
例1 计算行列式 ，其中 .
解 是一个 阶行列式，先对矩阵 进行如下分块.令
从而因为 ，
所以当 时，C可逆，且
由定理4可得
3.2 利用分块矩阵求解线性方程组
设 个未知数 个方程的线性方程组为
设 ， (其中 表示矩阵的转置），
则方程（1）的矩阵形式为 .
把方程组（1）的矩阵形式改写成如下分块矩阵的形式
，
方程组（1）有解时，我们解方程组（1）时总是把（1）化成形式简单的同解方程组，从而求出其解.
定理5 设方程组（1）有解且 ， ，则方程组 与 同解.
定理6 设方程组（1） ，则方程组（1）的一般解为
，
其中 分别取 记 为 阶单位阵.
运用线性方程组的增广矩阵与系数矩阵等相关概念，并结合矩阵的分块进行求解，可简化计算.