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（2） 在开区间 内可导;
则在 内至少存在一点 ,使得
拉格朗日定理的几何意义:满足定理条件的函数 在开区间 内的曲线上至少存在一点 ,曲线在该点的切线平行于曲线的两个端点的连线.
定理3 （柯西中值定理） 设函数 和 满足
（1）在闭区间 上都连续;
（2）在开区间 内都可导;
（3） 和 不同时为零;
（4）源'自:751]'论-文'网"]www.751com.cn
则存在一点 ,使得
. 柯西定理的几何意义:满足定理条件的函数 和 所确定的参数曲线上至少存在一点,且该点的切线平行于参数曲线的两个端点的连线.
3 微分中值定理之间的关系
3.1 微分中值定理在结构上的相互关系
（1）当函数 时, , , ,
由柯西中值定理我们可以得到拉格朗日中值定理:
. （2）当函数 时,且 , , , ,
由柯西中值定理我们可以得到罗尔中值定理: .
从而我们可知,罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理之间的关系是后者包含前者,即柯西中值定理的特殊情况（ ）就可得到拉格朗日中值定理,而拉格朗日中值定理的特殊情况（ ）就可得到罗尔中值定理.即柯西中值定理是拉格朗日中值定理和罗尔中值定理的统一形式.