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在定理1的证明过程中，可以发现对定理1的条件作出更为精确地描述．即对于单调递增数列，只需要求其有上界即可；同样的对于单调递减数列，只需要求其有下界即可．因此，容易得出以下两个定理．源'自:751`!论~文'网www.751com.cn
定理2 在实数系中，有上界的单调递增数列必有极限．
定理3 在实数系中，有下界的单调递减数列必有极限．
注 以上的两个结论都可从定理1的证明中容易得出．
3 单调有界定理的应用
3.1 单调有界定理在数列极限方面的应用
3.1.1 单调有界定理在求解某些具体数列极限方面的应用
例1 判断序列 的收敛性，若收敛，求 ．
分析 因为题目所求为数列收敛问题且给出了具体表达式．因此可以尝试比较数列前后两项大小关系，判断其单调性；想方设法地找出数列的界值．进而可以用单调有界定理来判断其收敛性．
解 令 ，则有故有源'自:751`!论~文'网www.751com.cn
这就证明了 为单调递减数列．又有上式对一切正整数 都成立，即数列 有下界．则由定理3，就知道数列 有极限．设 ，再由 转换得 ，两端取极限得 ．从而解得 ．即 ．
例2 判断序列 收敛性，若收敛，求极限 ．
分析 此题也是某些给定的具体数列，因而也可以尝试用单调有界定理判断其收敛性．只是在判断数列单调性的方法上具有一定的技巧性．
解 因为当 时，有 成立．对其做恒等变换有