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摘 要:导数知识在高等数学学习中至关重要,它的内容,思想和应用贯穿于整个高等数学教学中,利用导数证明不等式是一种十分巧妙的方法,它能使我们更清晰地了解所要证明的不等式之间的内在联系,使不等式的证明化难为易,有利于培养我们理解问题、分析问题的能力,更有利于我们将所学知识灵活应用,学会融会贯通.本文将从利用函数的单调性,利用函数的最值,利用微分中值定理,利用函数的凹凸性,利用泰勒公式等五个方面阐述导数在不等式证明中的应用.54894
毕业论文关键词:导数,不等式,函数,证明
Abstract: The knowledge of derivative is an extremely important part of higher mathematic, its content, ideas, and applications impenetrate into the teaching of higher mathematic. As to the proofs of inequalities, the use of the derivative proved to be an effective measure. Help us develop understanding questions and analysis question abilities. This article will elaborate the application of derivative in the use of the proofs of inequalities, that is , the monotonic property of the function , the maximum or minimum value of a function , differential mean value theorem, concavity, Taylor’s formula.
Key words: derivative, inequalities, function, prove
目 录
1 引言 4
2.一阶导数与不等式证明 4
2.1 单调性预备知识 4
2.2 拉格朗日中值定理预备知识 5
2.3 函数的最值（或极值)预备知识 6
3．二阶导数与不等式证明 7
3.1 函数的凹凸性预备知识 7
4. 多阶导数与不等式证明 8
4.1 泰勒公式预备知识 8
结论 10
参考文献 11
致谢 12
1 引言
导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的.随着多少年来不同数学家的努力,导数的应用越来越广泛,其中利用导数来证明不等式,因其思路清晰、方法巧妙,而备受人们关注.利用导数证明不等式,就是利用不等式与函数之间的紧密联系,将不等式的部分或全部投射到函数上,直接或等价变形后,结合不等式的结构特征,构造相应的函数,再通过对新函数进行单调性的判断或中值定理的应用或最值求解等方法来推导出所求的不等式.利用导数来证明不等式方法多种多样,下面将从题干所给信息来判断使用哪一种方法及如何使用导数来证明不等式.
2 一阶导数与不等式证明
2.1 单调性预备知识
定理 设 在区间I上可导,则 在I上递增（减）的充要条件是
.利用函数的单调性证明不等式的步骤如下:
1.首先确定函数 自变量所在的区间I；
2.其次求 ,确定函数 在区间I上的单调性；
3.最后由单调性证得不等式.
例1 证明当 时,不等式 恒成立.
证 令 ,则有 ,
因为 ,所以 ,即当 , 为增函数.
又因为 在 处连续,所以 时, ,
即有 ,
从而得到 , .
下面我们再来看需要将不等式变形后构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性,