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达到证明原不等式的类型题.
例2 已知 , ,求证 （ 为自然对数的底）.
证 （分析 要证 ,只需证 ,即证 )
设 ( ),则 ,因为 ,
所以 源'自:751`!论~文'网www.751com.cn
故 ,则 在 上递增.
又因为 ,所以 ,故 ,
,所以 成立.
由上可得,解决这类问题的关键在于构造函数,其次要把证明的不等式变形,然后
在相应的区间上利用导数的相关知识判断其单调性,再用单调性来证明不等式.
2.2 拉格朗日中值定理预备知识
定理 （拉格朗日中值定理) 若函数 满足如下条件：
1. 在闭区间 上连续；
2. 在开区间 内可导,
则在 内至少存在一点 ,使得
利用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤如下：
1.首先确定辅助函数及自变量所在的区间；
2.其次验证辅助函数在区间内满足拉格朗日中值定理的条件,从而得到
, ；3.对 求导,从而得到 ,由此来建立一个不等式；
4.由 的范围确定 的范围,以此来验证不等式.
例3 证明若函数 在 上可导,且 ,则 .
证 因为 在 上可导,所以 满足拉格朗日中值定理的条件,由拉格朗日中值
定理知,存在 ,使得