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注2 利用实数的平方和的性质可以证明更为复杂的问题．
例1 设 为 阶实对称矩阵， 为 阶实反对称矩阵，若 ，则 ．
证明 设 ， ， ，由于 为对称矩阵， 反对称矩阵，所以 ， ， ，于是由 有， ，从而以 ，即
，而 是实矩阵知，所以 为实数，因此由上式可知 全为零，所以 ．
注3 利用性质1可以证明某些实矩阵的问题．
例2 设 为 阶实矩阵，若 ，则 ．
证明一 由 有 ，
所以由 是实矩阵可知 ，即 ．
证明二 考虑矩阵方程 ，与 ，其中 为 阶矩阵．设 是 的任意一个解，即 ，于是有 ，即 ，由于 是实矩阵，所以 ，即 的解都是 的解，
由 有 ，即 是 的解，从而 也是 的解，即 ，所以 ．