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事实上 首先证明 是一个一一映射.一方面，任设 ，记 为矩阵 的第 列列向量，取线性变换 ，使得
, (3)
于是有 ，即 是一个满射.另一方面，设 ，由于 是一个满射，则一定存在 （取法同（3）式），使得 .若 ，则显然有 ，即 是一个单射.
任设 且 ， ,则由
及 可得 及 .从而根据定义4可知 与 同构.
2 可交换线性变换的性质
事实上 首先证明 是一个一一映射.一方面，任设 ，记 为矩阵 的第 列列向量，取线性变换 ，使得
, (3)
于是有 ，即 是一个满射.另一方面，设 ，由于 是一个满射，则一定存在 （取法同（3）式），使得 .若 ，则显然有 ，即 是一个单射.
任设 且 ， ,则由
及 可得 及 .从而根据定义4可知 与 同构.
2 可交换线性变换的性质