中国古算中的无理数产生于开方不尽和圆周率的计算.刘徽在《九章算术注》中有关无理根数的运算以及求微数法的叙述,是中算史上无理数理论保存至今的唯一珍贵文献.
《九章算术》开方术有云:“若开之不尽者,为不可开,当以面命之.”何谓“以面命之”? 刘徽注释“以面命之”,就是将这个开之不尽所得之新数命名为积之“面”,即相当于现代定义了一个方根.徽注云:“术或有以借算加定法而命分者,虽粗相近,不可用也.凡开积为方,方之自乘当还复其积分.令不加借算而命分,则常微少,其加借算而命分,则又微多.其数不可得而定.故唯以面命之为不失耳.”
除之不尽而“命分”,开之不尽而“命面”,由运算引进新数,这是中算家关于数系扩展的深刻思想,为刘徽阐发得如此透彻.
“面”作为与现代数学中所谓“方根”同义的专门术语,不仅在《九章算术》中有明文记载,而且汉代以来便多有应用.
刘徽的“求微数法”是对古代无理数理论的又一重大贡献.刘徽《九章算术注》中论及此法者有3处:方田章“圆田术注”、少广章“开方术注”和“开立方术注”.
刘徽的论述表明,中算家通过千百次的开方运算懂得,存在开方不尽之数,其结果是不能用分数的有限形式来表示的.对于这种情形,或者引进新数称之为“面”,或者用求微数法以十进分数来无限逼近.并且中算家不仅会用十进分数作近似计算以满足实用的需要,而且会用“面”(即方根)来进行无理数的精确的理论计算.这种方法与现代数学中处理无理数的表示与计算的方法,可以说是极其相似.
3 无理数的表示方式源.自|751,:论`文'网www.751com.cn
从公元前5世纪到公元17世纪,无理数一直被认为是不可理喻的数.特别是无理数的不可约性的本质究竟是什么?长期以来众说纷纭.15世纪意大利著名画家达芬奇将之称为“无理的数”.17世纪德国天文学家开普勒称之为不可名状的数.
直到公元19世纪,经过无数数学家的探索,无理数的面纱才终于被揭开.1872年,法国数学家戴德金、魏尔斯特拉斯、康托尔不约而同地发表了有关实数理论的论文,他们分别用有理数的“分割”、递增有界数列的极限、退缩有理闭区间序列来定义无理数,从而得到了整个实数系.这样,无理数作为实数集的一部分,才为人们所接受.
3.1 用无限不循环小数表示无理数
有理数用十进位制小数表示时,或是有限小数,或是无限循环小数.人们也想用十进位制小数来表示无理数.康托尔的实数理论为之提供了理论依据,无理数可以用有限小数构成的退缩有理闭区间序列来逼近.
例如 .因为 , 所以 ;
因为 , 所以 ;
因为 ,所以 ;
因为 ,所以 ;
于是,确定 的退缩有理闭区间序列 :
, , , , ,
因此 .
有人把无理数定义为“无限不循环小数”.
3.2 用连分数表示无理数
在人们用无限不循环小数表示无理数的同时,还耿耿于怀用分数来表示无理数.尽管希伯索斯已经证明了 不能用分数来表示.人们这样尝试
于是 简记成 ,其中(2)表示2一直循环.
这样的表示方式称为连分数.一般的,有限连分数表示有理数,而无限连分数表示无理数.其中,无限循环连分数表示代数无理数,而无限不循环连分数则表示超越数.