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当然，只能对收敛级数讨论余式，对于发散级数来说，因为它没有和，所以根本谈不上余式.
例1 函数列
在区间 上收敛；
在每一个有穷的区间 上一致收敛；
在区间 上一致收敛.
试说明各是什么意思？
解 （1）对于任意 及任意的 < 都存在一个正整数 ，使得当 时恒有
，
则称函数列 在区间 上收敛，这里 不仅仅与 有关，而且与值 也有关.
（2）对于每一个 ，如果对于任给的 ，存在一个
，使当 时，对于 内的一切 值，均有
，
则称 在每一个 上一致收敛.
（3）如果对于任给的 ，都有正整数 存在，这里 仅与 有关，使当 时，对所有的 ,均有
，则称 在 上一致收敛.
例2 讨论级数 在 上是否一致收敛.
解 当0 时， ；
当 时， .
所以，级数当0 时收敛，其和是 .
现证在区间 上级数是一致收敛的，如果一致收敛，则对于任意 必
可找到正整数 (它只依赖于 而与 无关），使得当 时，有
不是一般性，设 ，则由不等式 ，两边取对数 ，再两边除以负数 ，得 .