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       最值问题几乎遍布于高中教材的各个知识块,各个知识水平层面,其解法灵活,综合性强,能力要求高,是中学教材中的重难点.求解这一类题目,需要学生综合运用所学知识,灵活运用解题方法.本篇论文综合方法及例题全方面解析中学数学中的最值问题.

    2 函数最值

    2.1 函数及函数最值 

     在中学数学中最常见的最值问题当属函数最值问题.这要求学生充分理解函数以及其性质.

     函数的传统定义为:设有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就称y是x的函数,x叫做自变量.我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域,和x对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.这个定义是从运动变化的观点出发,初中所涉及的函数停留在这个层面,为一元函数.

     函数的近代定义为:设A,B都是非空集合,f:x→y是从A到B的一个对应法则,那么从A到B的映射f:A→B就叫做函数,记作y=f(x),其中x∈A,y∈B,集合A叫做函数f(x)的定义域.符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表示,应理解为:x是自变量,它是法则所施加的对象;f是对应法则,它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格,也可以是文字描述;y是自变量的函数值,当x为允许的某一具体值时,相应的y值为与该自变量值对应的函数值,当f用解析式表示时,则解析式为函数解析式.y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”,f(x)也不一定是解析式.可以看出近代定义是从集合、映射的观点出发,他所表示的函数不一定是数集,但是我们讨论的最值问题函数都是数集的映射.

     函数最值分为最大值和最小值.函数的最大(小)值定义为:

    一般地,设函数y =f (x)定义域为I,如果存在实数M满足:

    ①于任意的x ∈I都有f(x)≤(≥)M;

    ②存在x0∈I使得f(x0)=M;

    则称M是函数y=f (x)的最大(小)值.

     函数本身就是个复杂的知识点.根据自变量的个数可以分为一元函数、二元函数、三元函数等(中学数学中一元、二元函数居多).根据自变量的最高次数可以分为一次函数、二次函数、三次函数等.另外还有一些特殊函数,如三角函数,反函数等.当所求函数自变量多且次数高时,求解最值变得更加复杂困难.

    2.2 一元函数最值

     一元函数的最值在函数最值问题中是比较简单的问题.对于一元函数的最值解法有换元法、不等式法、导数法等.

    2.2.1 判别式法

     在求解一些函数最值题目中常用一元二次函数判别式求解最值.对于任意一个一元二次方程 均可配成 ,因为a≠0,由平方根的意义可知, 的符号可决定一元二次方程根的情况, 叫做一元二次方程的根的判别式.

     根据判别式以及a的正负可以知道函数的单调性从而可以求出对应区间的函数最值.然而有些非一元二次函数最值问题同样可以用判别式求解.

    例1 求解函数 的最值.

    解  ,∴函数的定义域为R,原函数化为: ,判别式为 ,即  ,从而的函数最大值为  ,最小值为  .

    解析 本题并不是传统的一元二次函数最值问题,但是同样可以用判别式的方法求解最值,这要求充分理解函数基本概念,包括函数定义域、值域的概念,巧妙运用判别式.

    2.2.2换元法

       解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.此方法是求解最值问题最常见的方法之一.下面通过一个例题说明换元法在一元函数最值中的应用.

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