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其中
若存在 ，使 则 称为方程组（2-1）的解[3].
下面是即将用到的雅克比矩阵
（2-3）
牛顿法是求解如（2-1）这样的非线性方程组的最基本而且最重要的方法，这里将介绍几种经典解法，首先是牛顿法.
2.1 牛顿型迭代法
2.1.1 牛顿法简介
牛顿法最初由艾萨克·牛顿于1736年在 Method of Fluxions 中发布 .而事实上此方法已经由Joseph Raphson于1690年在“Analysis Aequationum”中提出，与牛顿法相关的章节《流数法》在更早的1671年已经完成了[12].
对如式（2-1）的非线性方程组求解的牛顿法，首先将非线性映象 逐步线性化，迭代一次，获取一个线性方程，然后求其解，如上迭代法称为线性化方法.首先我们分析一维非线性方程，然后 由其推广到 维非线性方程组.
设
（2-4）
其中 ,若 是方程（2-4）的根，x0是 的近似值，通过点 的线性函数为
其中 .若用 ，则（2-4）的根可用 的根近似，于是新的近似根 应为
取
（2-5）
迭代程序（2-5）就是求方程（2-4）的线性化方法，它的几何意义就是通过点 做直线，将该直线与 轴的交点设为方程（2-4）根新的近似值，当 取不同的值，就可得到到不同的迭代法，例如取 ，就得到平行弦方法，如果取 就称为简化牛顿法，如果在点 处用切线近似曲线，把 的根记作 ，则得
（2-6）
这就是牛顿法，它相当于（2-5）中取
把解一维方程（2-4）的上述方法推广至n维就可以得到解方程组（2-1）的各种迭代法.假设 是方程（2-1）的一个数值解， 是 的近似值，通过点 可以定义仿射映象
为
（2-7）
其中 为非奇异 阶矩阵，明显可知 ，如果用线性方程组
的解 作为方程（2-1）的新近似值，即
（2-8）
这个过程即为解非线性方程组（2-1）的线性化迭代法，一般 等有关，如果 设定不同就可以获取不同的迭代法，其中最简单的方法就是对全部 都取 非奇异，于是由（2-8）得
（2-9）
它称为 维平行弦方法，它的几何意义就是：在 中 个超平面
与超平面 的交点就是 .其中 为 的 个坐标分量， .若取 ，则由（2-9）可得
（2-10）
这个即为简化牛顿法，与一维时情况类似，如果在点 处用超切平面替代曲面，即以线性方程组 的解为方程组（2-1）新的近似解，则获得到第 次近似解
（2-11）
这就是解方程组（2-1）的牛顿法.这里 就是 的Jacobi矩阵（2-3），它的几何意义就是利用 个超切平面
与超平面 的交点 作为超曲面 与超平面 交点 的新近似.牛顿法（2-11）每步计算 的逆，当 很大时运算是艰巨的，真正计算时可采纳下列方式
（2-12）