- 上一篇：叶果洛夫定理的若干应用
- 下一篇：微积分学若干不等式在时标上的推广
摘 要：本文通过对降价法，待定系数法和常数变易法这三种二阶常微分方程的解法进行介绍.
毕业论文关键词：降阶法，待定系数法，常数变易法59006
Abstract：This article describes three solutions of the second-order ordinary differential equation, which are order reduction method, the undetermined coefficient method, and constant variable method.
Keywords：Order reduction method, the undetermined coefficient method, constant variable method
1前言 4
2降阶法 4
3待定系数法 6
4常数变易法 10
结论 13
参考文献 14
1 前言
常微分方程从它产生的那天起，就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具. 常微分方程已经有很悠久的历史，当然现在也保持着活力，根本的原因是它跟我们生活密切相关. 在很多科学领域都需要运用常微分的知识，比如电路分析研究，弹道的计算等等. 而二阶常微分方程在其中占有很重要的位置，在物理学和化学及工程技术中都有非常普遍的应用. 二阶常微分的解结构已经有非常完美的结论，但是它求解的方法却多种多样. 所以，二阶常微分方程的解法研究已经成为常微分方程关注的热点问题之一. 因此，研究各种不同类型的二阶常微分方程的解法是很重要的. 本文将对二阶常微分方程的求解方法进行研究.
2 降阶法[1,2,3]
由于二阶常微分方程没有通用的求解方法，正常的情况下就是将二阶常微分方程通过变换化为一阶常微分方程. 下面介绍三种可降阶的二阶常微分方程的类型及其求解方法.
2.1 不显含未知数 的方程
不显含未知函数 的二阶常微分方程，形如:
若令 ,就可以把上述方程化为关于 的一阶方程
如果能求得 的通解对上式再经过1次积分，就可以求出方程 的解 .
例1 求 的通解.
解 令 ,则原方程可变换成 .这是一个一阶方程，其通解为 ,即有 ,积分1次可得原方程的通解为
.2.2 不显含自变量 的方程
不显含未知函数 的二阶常微分方程，其一般形式为 .
这时，令 ，而把 作为新的自变量，因为 ， ,易得 可用 来表示，将这些表达式代入方程 可得
.即将二阶常微分方程又降为一阶常微分方程了.
例2 求方程 的解.
解 令 ，并把 当做新的自变量，于是原方程可变换化为 ,于是可解得 及 ,这两个方程的全部解为 .再把 代入可得到 ,所以 .
2.3 恰当导数方程和积分因子
如果方程左端为一阶微分表达式 对 的全导数，即
则与一阶微分方程相似，称方程 为恰当导数方程，易知
方程 是一阶的，如果求出方程 的通解 ,则它一定是 的通解.有的时候 本身不是恰当导数方程，但是如果乘上一个适当的因子 后能成为恰当导数方程.此时， 就叫做方程 的积分因子.
例3 求方程 的解.