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可知，一致连续性是函数在某个区间上的一种整体性质的表现，它要求对于 ，存在与位置无关的一个一致连续函数的 ，因此对于在一般的区间上来说，一致连续性是比连续性更强的一种性质。连续函数的可积性就是一致连续性的成功应用的一个典型例子。
例1 和 在 内不一致连续。
解 事实上，对 ， , > 0,都存在 = + , = ，满足 ，却使 =1+ > 成立。根据定义可知， 在(-∞, +∞) 内不一致连续。对于 ，则∃ , ,∃ , ，显然有
（ - ）= （ - ）= =0
显然满足 - | < ，但 = =1= 。
依定义， ， （- ，+ ）不一致连续。证毕。
3 一致连续的判定方法
3.1 有限区间上的一致连续函数的判定
定理1[2] 函数 在 上一致连续的充要条件是函数 在 上连续。
定理2 函数 在 上一致连续的充要条件是函数 在 上连续并且 f(x), f(x)都存在。
证明 必要性 因为函数 在区间 上一致连续, 即对任意ε>0 ,存在δ>0 , 对任意 ∈ (a , b)， , 有 .显然函数 在( 上连续.并且对任意 , 存在 , 对任意 当 时，则 , 有 .根据柯西收敛准则可知, 存在。同理可证， 存在。
充分性 因 ， 都存在，分别设 和 ，构造函数
显然 在 上连续, 由定理1 可知 在 上一致连续,从而 在 上一致连续.
推论1 函数 在 上一致连续的充要条件是函数 在 上连续且 ， 都存在。
推论2 若函数 在有限区间 上连续, 单调并且有界, 则函数 在 上一致连续。
3.2 无限区间上的一致连续函数的判定
定理3[3] 若函数 在 上连续且 ， ，（ ， ）都存在，则函数 在 上一致连续。
推论3 若函数f(x)在 上连续, 且 （ ）存在, 则函数 在 上一致连续。
推论4[4] 若函数 在 上连续且 ， 都存在，则函数 在 上一致连续。
反之不成立, 例如 = 在 上一致连续,但 ， 都不存在。
推论5[5] 若函数 在区间 上满足定义, 则曲线: = 存在垂直渐近线, 因此 在区间 上不一致连续。
定理4 若函数 在区间 上有定义, 对 , , 都存在且有界, 且有有限个角点, 则 在区间 上一致连续。
证明 假设 = , 因 在区间 上存在任意一点的左右导数, 故 在区间 上连续, 只有有限个交点, 分别设为 , , , ,
记 , = , 在 上连续, 必一致连续。
而 在 上可导, 且 有界, , , , , , 不妨设 < , 在 上可导, 由拉格朗日中值定理知 , ，从而 , , , < , < 。则 在 上一致连续。
同理 在 上一致连续.根据一致连续的性质可知 在 上一致连续。该定理的条件变弱也可能成立, 例如 , 上任意一点的左右导数都存在且有界,虽有无限个角点 , , 也有 在 上一致连续。
推论6 若函数 在区间 上光滑, 并且 在区间上有界, 则 在区间 上一致连续。
反之推论不成立, 例如 = 在 上一致连续, 但 在(0 , + ∞)上的导数却是无界的。
定理5 若函数 在 上连续, 存在常数 ，且 [ -]= （ [ - ]= ），则函数 在 上一致连续。