又邻域 内有无限多个有理点,所以在区间 内有无限多个有理点使 .因为有理数是可数的,把在 内使 的有理点排成数列
这样便得到一个单调递减数列 且 ,则由单调有界定理知数列 必有极限。
设 ,且有 ,由 在 点连续可知 .若 ,就与 矛盾,因此 .
假设 ,不妨设 ,则由连续函数的局部保号性可知存在 ,使 有 ,当然在 与 之间有一个有理数 ,使 ,这与 矛盾,所以 .又 ,所以 ,因此 使 .
3.3 区间套定理证明零点定理[3]
证明 假设 .将 等分为两个子区间 和 ,若 ,则 即为所求;若 ,则当 时,记 ,当 时,记 ,于是 ,且
将 等分为两个子区间 和 ,若 ,则 即为所求;若 ,则当 时,记 ,当 时,记 ,于是 ,且