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1．Toeplitz定理
1.1 Toeplitz数表[6]
定义 设给定了一个由非负实数组成的无穷三角形数表(无穷下三角阵)
如果上面数表满足条件(1) (2)对任意给定的 都有
那么我们就称这样的数表 为托普利兹(Toeplitz)数表或者托普利兹阵, 并把序列的变换
叫做托普利兹变换.
例1 算术平均变换是托普利兹变换的一种特殊情形,它所对应的托普利兹数表是 .
下面给出两个引理
引理1[6] 设 是任意一个给定的托普利兹数表, 是任意一个无穷小序列,并设 为经 变换而得的序列,即
则有 证 由 知:对 使得对 ,就有 .
取 ,所以 .
又由对任意固定的 有 知:对上述 使得当 时,
对任意 都有 .所以有
记 .于是,对于 ,就有则 得证. □
引理2[6] 设 是任意一个托普利兹数表, 是收敛于 的一个实数列,
,则有 . 证 令 ,这里 是无穷小数列.于是
由引理1可知 是无穷小数列,因而有
1.2 Toeplitz定理[5、7] Ⅰ设无穷“三角形”矩阵的系数