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例如 对连续函数空间 ,若 可定义三种常用范数如下:
(1) ,称为 范数,
(2) ,称为1-范数,
(3) ,称为2-范数.
定义2 设 是有限或无限区间,在 上的非负函数 满足条件:
(1) 存在且为有限值 ,
(2) 对 上的非负连续函数 ,如果 ,则 .则称 为 上的一个权函数.[1]
对于给定 及 中的一个子集 ,若存在 ,使 , (2.1)
则称 是 在子集 中的最佳平方逼近函数.[1]
证明最佳平方逼近函数 的存在性,唯一性及计算方法与误差.
证 (1) 存在性,唯一性
对 ,原问题转化为求 ,使 ,
即求 的系数 ,
这是关于 的线性方程组,称为法方程组,记为 ,因 ,线性无关,故法方程组系数行列式 ,法方程组有唯一解 ,使得
. (2.3)
(2) 证法方程组确定的 是 在集合 上的最佳平方逼近函数.
即证 ,有 .
即求证下面的不等式成立
成立 对于上式已知 ,
并且 因为 ,所以 .
所以上述的不等式证明成立,即通过法方程组求得 是最佳平方逼近函数,
令 ,最佳平方逼近的误差为
2.2 正交多项式作最佳平方逼近
定理3 若 为 上的权函数且满足
,则称 与 在 上带权 正交.若函数族 满足关系
则称 是 上带权 的正交函数族；若 ,则称为标准正交函数族.[1]
定理4 设 是 上首项系数 的 次多项式， 为 上的权函数.如果多项式序列 满足关系式 ，则称多项式序列 为在 上的带权 正交，称 为 上带权 的 次正交多项式.[1]