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3 矩阵可逆的判别方法的归纳及其应用
3.1 定义判别法
利用定义 1数域 上, 阶方阵 ，如果存在 阶方阵 满足条件 ,这里 是 阶方阵，就称 可逆,并且称 是 的逆,记 ．到一个 ，使得 ，则 可逆， ．
例 1 设矩阵求 ．解 设 =
可以解得 = ．
3.2 行列式判别法把 阶矩阵
的唯一的 阶子式
叫做矩阵 的行列式，记做 ．
定理 1 对 阶矩阵 ，若 ≠0，则矩阵 可逆．
例 2 设 = 求 的逆矩阵．
解 = 6 0 则 可逆， = ．所以 = ．
3.3 伴随矩阵判别法
定理 2 若存在 ,使得 ，则 可逆．
证明 若 可逆，则显然 ,且
反过来，如果有
则 例 3 令满足条件 ,求 ．
解 根据 ,我们有所以同样地，因为 ,故 3.4 初等变换判别法
（1）矩阵的秩文献综述
定理 3[1] 若一个 阶矩阵 的秩等于 ，则矩阵 可逆．
证明 由 可逆，知 ,再由矩阵秩的定义，可得 .所以由 可逆可推得 .反过来，必要性也显然成立．
（2）初等变换
定理 4[1] 对矩阵 施行初等变换后，得到矩阵 。若 可逆，则 可逆．
就是对 阶矩阵 ，作 矩阵，然后对此矩阵施以初等行变换，若把子块 变为 ，则子块 将变为 ，即初等行变换 ．