设 为曲线 上的任一点,则根据能量守恒定理可得下面的关系
该式子中, 是重力加速度,故有
还有一方面,质点的运动速度还可以表示成
根据上面的两个式子消去 并且进行积分,得到质点沿着曲线从A点滑向B点所用时间为
=
显然时间 是依赖于 的图像的, 去不同的函数,那么 就会有不同的数值与其相对应。这样,文献综述简而言之捷线问题在数学上就转化为在满足条件(2.1.2)的所有函数(2.1.1)中,求使得积分(2.1.6)取到最小值的函数。这个问题已经被伯努利兄弟等人解决,但这种问题的一般解法直到后来才有欧拉和拉格朗日创立。
例2.短路程问题。这个问题是约翰·伯努利在1697年率先提出。其提法为:在光滑的曲面 上给定点 和 (见图2),在这个曲面上求连接这两点的一条最短的曲线C。类似于这样,在曲面上两点之间长度最短的曲线就称为短程线或者测地线。
解 设这条曲线的方程为
式子中 为连续可微的函数,因为曲线在曲面 上,所以 和 应该满足约束条件
根据高等数学可知,曲线(1)的长度为
这样一来,短路程问题即可归纳为在满足条件(2.2.2)的情况下,寻求过A,B两点的方程(2.2.1),使得积分(2.2.3)取得最小值。短程线的变分问题也被人称作条件极值问题。
例3.等周问题。在平面上给定长度L的并且所有不相交的光滑封闭曲线中,求一条能围成最大面积的曲线。