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摘 要：本论文整理了若干求解矩阵的高次幂问题的方法,即根据不同矩阵的特点采用不同的计算方法.本文利用例题介绍了数学归纳法、最小多项式法即采用 - 定理导出求矩阵幂的方法、相似变换法、特征多项式法、 标准形法、特殊矩阵法等多种方阵高次幂求解方法，采用给出的方法 , 大致上能够解决一般方阵的高次幂的求解问题.9422
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关键词： 阶矩阵方幂；最小多项式； 标准形；特殊矩阵
The method of calculation for the power operation of n-order matrix
Abstract：The dissertation capsuled some manners to answer the solution of high power of matrix,the way of solving different according to the assorted characteristics of matrix.The paper present the mathematical inductive method、the minimal polynomial method（Adopting the Hamilton-Cayley theorem to solve the problem of high power of matrix)、resembled transformation method、characteristic polynomial method、Jordan standard method、special matrix method,as well as other methods to solve the problem of high power of matrix,Using the given methods, the problem of high power of matrix can be solved.
Key words:The power operation of a n-order matrix；Minimum polynomials; Jordan standard form;Special matrix
引言
高等代数中的许多问题都提出了矩阵的概念，而且相关问题的研究往往的表现为有关矩阵的一些方面的研究，甚至有些性质完全不相同的、看上去完全没有关系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的.这就是矩阵成为数学中一个及其重要的应用广泛的概念，所以，在代数特别的是线性代数中矩阵成为一个主要的研究对象.熟练掌握矩阵的计算及矩阵的计算规律是学习矩阵相关知识的一个重要环节.矩阵的 次幂计算以矩阵的乘法运算为基础，而矩阵的高次幂运算是比较复杂的，故此，不断探索便捷的计算方法就成为矩阵 次幂计算方面的重要课题.
目前，对于方阵高次幂的计算方法的问题，有许多人进行过研究，文献 综合给出了矩阵的乘法定义及其运算规律；文献 给出了矩阵的幂的概念及其运算规律；文献 详细地介绍了计算方阵的幂的一个定理，即本文中的定理2.
本文在此基础上，以分类讨论的思想，对普通 阶矩阵及一些特殊矩阵的 次方的求解方法进行了系统而多方面的介绍.根据矩阵的不同特点选用不同的解题思路.本人结合实例介绍了数学归纳法、最小多项式法（利用 - 定理给出求幂的简单方法）、相似变换法、特征多项式法、 标准形法、特殊矩阵法等多种方阵高次幂求解方法.诸方法为 阶矩阵的高次幂的计算提供一个参考.在实践应用中，可依据矩阵的不同特点采用不同的运算方法以简化计算.
1.预备知识
1.1矩阵的乘法运算及其运算规律
定义1设 ， ，那么矩阵 ，其中 ，称为 与 的乘积，记为 .
矩阵 和 的乘积 的第 行第 列的元素等于第一个矩阵 的第 行与第二个矩阵 的第 列对应的元素乘积的和.在定义矩阵的乘积时要求相乘的两个矩阵秩中第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等。
性质1 交换律不适用于矩阵的乘法，也就是说， .
性质2结合律适用于矩阵的乘法，即 .
1.2 矩阵的幂运算的定义及其计算规律
当一个矩阵行数与列数相等即该矩阵为方阵时，可以定义这样的矩阵与它自身的乘法运算，即矩阵的幂.
定义2设 是 矩阵（ 阶方阵）， 是正整数，则 称为 的 次幂。
由定义2，可以得出以下运算律：
； ； ； ； ，其中 ， , 为非负整数。