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摘要：零因子是环中具有特殊性质的元素.它提供了一种研究数学问题的新方法，引发了很多有趣的结果和问题.本论文从一般环、n阶全阵环、多项式环这几个方面出发，讨论了一般环、n阶全阵环、多项式环的零因子的性质，获得了一些关于环零因子的重要结论，继而探讨了在矩阵环中零因子存在的条件并列举了几个实例说明零因子的应用，加深了对环的零因子的认识和理解.9423
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关键词: 零因子; 全阵环；多项式环；
To Investigate the Zero Factors of a Ring
Abstract: Zero factor is a kind of special ring elements.It provides a new method
To study math problems ,caused a lot of interesting results and problems.In this note,from general ring、total matrix of n-step、polynomial ring,we discuss the characteristics of their zero factors and obtain some important conclusions about the zero factors of the ring. Then discusses the existing zero factors in the ring of matrix conditions and lists a few examples of application of zero factors. This get a deeper understanding on zero pisor of ring.
Key words: zero factor; ring of matrix; polynomial ring.
引言
环论起源于19世纪关于实数域的扩张和分类的研究.后在魏得邦（J.H.M.W-
Edderburn)、诺特（A.E.Noether)、阿廷（E.Artin)及雅各布森（N.Jacobson)等人的不懈努力下，环论的研究不断发展，日臻完善，现在已成为代数学研究的一个重要分支.环论在许多其它数学分支（如组合数学、几何学、自动机理论以及编码理论等）中也有重要应用.环的零因子，它提供了一种研究数学问题的新方法，引发了很多有趣的结果和问题.尤其是零因子图的研究，已成为国际上的一个热门研究领域.
古今中外有很多学者对环的零因子进行过深入的研究和探讨，他们得出了很多重要的结论.文献[1]杨子胥编写的近世代数中给出了环的零因子的定义及一般环的零因子的性质.文献[3]张禾瑞在他编写的近世代数基础中对模 剩余类环（ 是合数）的零因子， 阶方阵环的零因子进行了研究，得出模 的剩余类环 中除去零元和零因子，其余元素均为可逆元等很多著名的结论.在文献[15]中，谭文奇结合前人的研究经验及成果给出了零因子存在的充要条件，并借助于广义逆矩阵得出了零因子的计算公式.
本文首先给出了一些基础知识，这些基础知识为本文的发展打好了坚实的基础.其次是对环的零因子的性质展开详细的讨论，在这一部分分别对一般环的零因子的性质、 阶全阵环的零因子的性质、多项式环的零因子的性质由浅入深地进行了归纳总结.并简要阐述了矩阵环中零因子存在的条件，最后给出三个例子是对零因子的性质的应用.
1. 预备知识
定义1.1 设非空集合 有两个代数运算，一个叫做加法（一般用+表示），另一个叫做乘法.如果
对加法作成一个加群；
对乘法满足结合律： ；
乘法对加法满足左右分配律：
其中 为 中任意元素，则称 对这两个代数运算作成一个环.
众所周知，在数的普通成法中，如果 则必有 ，但这一性质在一般环中不在成立.
定义1.2 设 是环 的一个元素.如果在 中存在元素 使 ，则称 为环 的一个左零因子.
也称 为 的一个左零因子， 称为 的一个右零因子.为了叙述方便，我们把 称为 的一对零因子.
左、右零因子统称为零因子.既不是左零因子也不是右零因子的元素，称为正则元.
定义1.3 设 为任意环，称