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1） 至少有两个右逆元；
2） 没有左逆元；
3） 是左零因子.
证明 1） 2）设 是 的两个不同的右逆元，则
假设 有左逆元 ，那么 .
根据乘法的结合律可得到
，即 .
这与 矛盾，因此 没有左逆元.
2） 3）设 是 的右逆元，所以而
故 是左零因子.
3） 1）设 是 的右逆元，由题意知 是左零因子，即存在 ，使得 .
又 ,
故 也是 的右逆元，易知 ，所以 至少有两个右逆元.
定理2.1.2 若 是 的一个左零因子，则对任意 ， 或者是零元或者是 的一个左零因子；
若 是 的一个右零因子，则对任意 或 是 的一个右零因子.
证明 因为 是 的一个左零因子，所以在 中存在 ，使得 .
对任意 ，当 时， 是零元.