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摘 要：微积分学可以说是一门极限的科学，而无穷小是一类特殊的极限为零的函数。本论文首先介绍了无穷小的出现在历史上的作用，归纳总结了等价无穷小在求解各类极限问题中的应用。由于初学者在运用等价无穷小的替换中总是会出现这样那样的错误，我们又对出现这些错误的根源进行了剖析，另外也将等价无穷小的应用拓展到二元函数中。10028
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关键词：无穷小发展史；等价无穷小；幂指函数；变上限积分；二元函数；
毕业设计说明书（论文）外文摘要
Title Equivalent infinitesimal and it’s application in calculating limits
Abstract
Calculus can be called a subject about limitation. And infinitesimal is a special function because its limitation is zero. In this paper, we have introduced the effect of the appearance of infinitesimal in history at first. As we all know, the equivalent infinitesimal is an important tool to solve the limitation questions. So at the second, we have summarized the application of infinitesimal quantity in solving various limiting questions. Since the beginners always make this or that kind of mistakes in using the substitution of equivalent infinitesimal, we have analyzed the root of these mistakes at last. What’s more, we also have extended the infinitesimal quantity to limiting function of two variables.
Keywords: the history of infinitesimal; equivalent infinitesimal; power-exponential function; variable upper limit integral; limiting function of two variables
目 次
1 引言 1
2 第二次数学危机 1
2.1 危机的引发 2
2.2 危机的实质 4
2.3 危机的解决 4
3 无穷小以及等价无穷小 6
3.1 无穷小的定义 6
3.2 无穷小的比较 7
4 等价无穷小 7
4.1 等价无穷小的基本性质 7
4.2 常用的等价无穷小替换 8
5 等价无穷小替换在求一元函数极限中的应用 8
5.1 幂指函数中的应用 9
5.2 和式与差式中的应用 10
5.3 变上限积分中的应用 14
6 等价无穷小在求二元函数极限中的应用 17
6.1 二元函数极限的定义 17
6.2 等价无穷小替换在二元函数极限中的应用 18
结 论 21
致 谢 22
参 考 文 献 23
1 引言
无穷小有着一段浮现与潜藏的艰难历史，许多数学家都被无穷小吸引着，但无法给其一个精确的定义[1]，因此导致了长达两个世纪的第二次数学危机。第二次数学危机便是围绕着无穷小是不是零的这个问题展开的，经过许多数学家的多年的努力，形成了无穷小演算----微积分这么学科，而微积分则是数学分析的开端，数学分析研究的对象是函数，研究函数的方法是极限，用极限的方法去研究函数的连续性、可微性、可积性等，极限在数学分析上占有十分重要的地位，而任何类型的极限都可归结为无穷小。无穷小作为一个变量，在同一自变量下是可以相互比较的，通过比较，可以得到一些特殊函数关系，这些关系对于函数研究有着非同一般的作用。特别的是等价无穷小，它作为一类具有某种特殊性态和关系的函数，在求极限中适当的进行等价无穷小替换，可以使得问题化繁为简，化难为易。然而教科书关于等价无穷小的等价替换定理只说在分式的情况下，对分子分母都可以用等价无穷小替换，而一般的参考书都只强调：“等价无穷小量替换只在乘除情况下用，在加减情况下不能随意使用，最好不用。”而初学者对于等于等价无穷小替换根源不懂，于是在和式与差式替换中出现各种错误，或者根本就不敢在和式与差式中进行等价无穷小替换。