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摘 要：切比雪夫不等式是数理统计学中的一个重要不等式，而且有着广泛的应用.本文首先介绍了切比雪夫不等式，并给出了证明．然后利用切比雪夫不等式证明了切比雪夫大数定律．最后介绍了切比雪夫不等式在完善大数定律、求解和证明有关不等式和概率估计等3个方面的应用．因此，切比雪夫不等式具有一定的理论意义和实践价值．本文有助于读者了解切比雪夫不等式在实际生活中的作用，推广切比雪夫不等式在实际生活中的应用.关键词：切比雪夫不等式；切比雪夫大数定律；随机变量；数学期望；方差10138
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Discussion of The Chebyshev inequality
Abstract: Chebyshev inequality is an important method in Statistics. It is applied widely. This article first introduces the Chebyshev inequality, and gives the proof. Then using Chebyshev inequality proved Chebyshev law of large Numbers. Finally introduces the Chebyshev inequality in perfecting the law of large Numbers, solving and proving the inequality, and the application of the three aspects such as probability estimates. Therefore, chebyshev inequality has a certain theoretical significance and practical value. It further explores the application of Chebyshev inequality. This paper help readers to understand the application of Chebyshev inequality in real life.
Key words: Chebyshev inequality；Chebyshev law of large Numbers；random variable;Mathematical；Variance
目 录
摘要 1
引言 2
1 预备知识 3
1．1 随机变量的数学期望 3
1．2 随机变量的方差与标准差 4
2 切比雪夫不等式的证明 4
3 切比雪夫不等式的应用 6
3．1 完善大数定律理论 6
3．2 求解和证明相关不等式 8
3．3 在概率估计方面的应用 12
4 结束语 15
参考文献 16
致谢 17
切比雪夫不等式的探讨引言
概率论是一门研究随机现象数量规律的科学，是近代数学的重要组成部分．随机现象在自然界和人类生活中无处不在，因而大多数的应用研究，无论是在工业、农业、经济、军事和科学技术中，其本质都是现实过程中的大量随机作用的影响．这个观点强有力地推动了概率论的飞速发展，使其理论与方法被广泛地应用于各个行业．而概率论切比雪夫不等式理论的创立更使其锦上添花，以至在近代数学中异军突起．
下面一些文献对切比雪夫不等式进行了一定的研究．文献[1]中杨乾通过对切比雪夫不等式的证明,得到含数学期望和方差的概率不等式的证法．阐述了切比雪夫不等式是证明切比雪夫大数定律的重要工具和理论基础,在概率论及其实际生活中有很多应用．文献[2]中徐传胜主要介绍了切比雪夫的概率思想及当时的背景．文献[6] 、[7] 、[9] 、[10]与本文息息相关，通过几个例子，详细阐述了切比雪夫不等式在估计随机变量落入有限区间的概率、求解和证明一些有关概率的不等式的应用．
简单地说，切比雪夫不等式利用随机变量的数学期望和方差对变量的概率分布进行估计，描述随机变量的变化情况，文中主要对切比雪夫不等式进行相关的研究与讨论，总结切比雪夫不等式在完善大数定律、求解和证明有关不等式和概率估计等3个方面的应用．在理论研究及其实际应用中都很有价值．
1 预备知识
1.1 随机变量的数学期望
定义1 设离散随机变量 的分布列为如果则称