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为随机变量 的数学期望,或称为该分布的数学期望，简称期望或均值．若级数 不收敛，则称 的数学期望不存在．
定义2 设连续随机变量X的密度函数为 ,如果 ，
则称为 的数学期望．
数学期望的性质:
性质1 若c是常数，则 ．
性质2 对任意常数a，有 ．
性质3 对任意的两个函数 和 ，有
性质4 性质5 ．
定理1 若随机变量 的分布用分布列 或用密度函数 表示，则 的某一函数 的数学期望为
1.2 随机变量的方差与标准差
定义3 若随机变量 的数学期望 存在，则称偏差平方 的数学期望 为随机变量 的方差，记为 ．称方差的正平方根 为随机变量 的标准差，记为 ，或 ．
计算公式为 方差的性质:
性质1 ．
性质2 常数的方差为0，即 ，其中c是常数．
性质3 若a，b是常数，则 ．
性质4 ．
2 切比雪夫不等式的证明
定理2 设随机变量X的数学期望与方差都存在，则对任意的常数 ，有
证明 ①设X是一个连续随机变量，其密度函数为 ．记 ，我们有
由此知 对连续随机变量成立，对于离散随机变量亦可类似进行证明．
②设X为离散型随机变量，其概率分布为 ，其中 ． 分别以 取得值 ．则事件 表示随机变量 取得所有满足不等式 的可能值 ，该事件的概率为
对离散型随机变量亦成立．
在概率论中，事件 称为大偏差，其概率 称为大偏差发生概率．切比雪夫不等式给出大偏差发生概率的上界，这个上界与方差成正比，方差愈大上界也愈大．