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摘 要：非齐次线性方程组是线性代数的重要内容，广泛应用于现代科学的许多分支.其核心问题之一就是非齐次线性方程组的求解问题.本论文先介绍非齐次线性方程组解存在的判定条件及其解的结构，然后重点介绍解非齐次线性方程组的几种方法：高斯消元法、克拉默法则、利用逆矩阵求解、直接三角分解法、消去常数项法、同时使用行与列初等变换的方法.来展示数学方法的多样性与统一性，从而使我们能深刻地理解数学之美.关键词：非齐次线性线性方程组；求解方法；矩阵；初等变换.10139
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The Research of Non-homogeneous Linear Equations
to Solve the Problem
Abstract : Non - homogeneous linear equation group is an important part of linear algebra . It is widely used in many branches of modern science .One of its core
problems is the solution of the non-homogeneous linear equation group. Firstly ,the paper introduces the solution of the non-homogeneous the existence conditions and the solution structure. Secondly , the paper mainly introduces some methods of solving these equation groups. Such as Gauss-eliminate; Cramer’s rule ;Using the inverse matrix solution ;Direct factorization method ; Removing constant term ; At the same time using the rows and columns of elementary transformation method . It shows the mathematical method of persity and unity . It can make us more profound understanding of the beauty of mathematics.
Key words: Non-homogeneous linear equation group ; Solution ; Matrix ; Elementary transformation factorization .
目 录
摘 要 1
引言 2
1.非齐次线性方程组的相关概念与结论 3
1.1 非齐次线性方程组的三种形式 3
1.2 非齐次线性方程组解存在的判定条件 3
1.3 非齐次线性方程组解的结构形式 6
2.非齐次线性方程组的求解方法 6
2.1 高斯消元法 6
2.2 克拉默法则（Cramer) 9
2.3 利用逆矩阵求解 10
2.4 直接三角分解法 12
2.5 消去常数项法 14
2.6 行与列初等变换同时使用的方法 16
2.7 非齐次线性方程组求解方法的比较 18
3.结束语 19
参考文献 20
非齐次线性方程组的求解问题的研究引言
随着科学技术的发展，特别是电子计算机使用的日益普遍，非齐次线性方程组作为重要的数学工具之一，已经深入应用到了自然科学，社会科学，工程技术，经济管理等各个领域.在实际应用的过程中，大量方程和未知数的出现，使得寻找简单而又准确的方法显得十分重要.因此本文将来研究非齐次线性方程组的求解方法，以便于在应用中，找到更合适简便的方法.
非齐次线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术》里，就有所阐述．该著作所述的方法实质上相当于现在的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法．在西方，17世纪后期，莱布尼茨开创了线性方程组的研究．他曾研究含有两个未知量三个线性方程组成的方程组的问题．18世纪上半叶，麦克劳林用行列式的方法求解含有二、三、四个未知量的线性方程组，这种方法就是后来克莱姆所建立的克拉默法则．19世纪，英国数学家史密斯引进了方程组的增广矩阵的概念.道奇森证明了 个未知数 个线性方程组成的方程组有解的充要条件是方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同．现在，许多学者们对非齐次线性方程组的求解问题也做了大量的研究，提出了许多重要的结论.例如：文献[1]介绍了非齐次线性方程组的概念以及几种求解方法.文献[2，3]探究了解存在的充要条件及解的性质.文献[4-7]探究了解存在时，解的结构形式.文献[8-11]探究了非齐次线性方程组的求解方法.