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本文在查阅资料和文献的基础上，结合自己的学习实践，首先讨论了非齐次线性方程组解存在的判定条件，并结合例题进行了阐述.其次介绍了存在不唯一解时解的结构形式.最后研究了非齐次线性方程组在不同条件下的751种求解方法，并对这些方法进行了比较，以便于在求解非齐次线性方程组时，找到合适的方法.
1.非齐次线性方程组的相关概念与结论
1.1 非齐次线性方程组的三种形式
非齐次线性方程组是常数项不全为零的线性方程组，常见的表述形式有以下三种：
1) 一般形式：
2) 矩阵形式：
其中 = ， = , = ， 为系数矩阵， 称为未知数向量， 称为常数项向量，（ ）为增广矩阵，记为 .
3) 向量形式：
其中 1.2 非齐次线性方程组解存在的判定条件
一般的，求解非齐次线性方程组时，我们首先要考虑该方程组的可解性.对于非齐次线性方程组，其解的可能性大体可以分为两类：有解和无解.对于有解这类，又可分为两种情况：存在唯一解和存在无穷多个解.
当我们把非齐次线性方程组的增广矩阵 ,作初等行变换，会得到一个阶梯形矩阵.把阶梯形矩阵适当调整前 列的位置之后，可能有以下两种情形：
比 少了最后一列.
由这转化后的两种情形，我们可以得出，解存在性的判定条件：
1) , 无解.
2) 时, 有解.
对有解情况进一步进行讨论：
时，则 有唯一解.
< 时，则有无穷多解.其中自由变量有 个，主变量有 个.
结合例题，进行阐述：
例1 已知方程组 无解，则 为多少？
解 设方程组的增广矩阵为 ,对 作行初等变换
=
因为此方程组无解,所以需满足
例2 , 取什么值时，线性方程组
有解？
解 设方程组的增广矩阵为 ,对 作行初等变换
=
要使此线性方程组有解，需
1.3 非齐次线性方程组解的结构形式
定义1 称常数项全为零的线性方程组
(2)
为非齐次线性方程组（1）的导出方程组.
定理1 设 是（1）对应的导出方程组（2)的一个基础解系， 是（1）的一个解，则（1）的通解为：
其中 可取任意值 ,即非齐次线性方程组的通解=非齐次线性方程组的特解+导出方程组的通解.
2.非齐次线性方程组的求解方法
2.1 高斯消元法
在初等数学里，我们学过用加减消元法解简单的二元、三元方程组.基本思想是用逐次消去未知数的方法把原方程组 化为与其等价的三角形线性方程组，而求解三角形线性方程组可用回代的方法求解.换句话说，这种方法类似于线性代数中，将方程组对应的增广矩阵进行初等行变换，化为简单形式（上三角形矩阵）,从而将求解原线性方程组（1）的问题转化为求解简单方程组的问题