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本文首先便介绍了无穷小在数学历史上的重大作用与意义，让初学者对无穷小有一个深刻的历史认知，接下来着重分析了等价无穷小的一些应用，同时还用Taylor公式对等价无穷小在和式与差式中的错误进行根源剖析，另外还将等价无穷小替换拓展到了二元函数极限。
2 第二次数学危机
第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的17世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的；第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、甚至数学家群体的外部贝克莱大教主提出的，是由于对牛顿“无穷小量”说话的质疑引起的。
2.1 危机的引发
2.1.1 危机的引发
牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑的问题。我们来看一个例子[2]。
微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时刻的瞬时速度，在牛顿之前，人们只能求物体在一段时间内的平均速度，无法求某一时刻的瞬时速度。由于机器工业的发展，求运动物体在某一时刻的瞬时速度成为必要。我们以一个浅显的例子来看牛顿的思考。
例：设自由落体在时间 下落的距离为 ,则有公式 ，其中 是固定的重力加速度。我们要求物体在 的瞬时速度。可以先求平均速度，即用下落距离的改变量除以时间的改变量： 。
这就得到了平均速度的表达式。等号右边有两项，一项是 ，不依赖与时间的改变量 ；一项是 ，依赖于时间的改变量 。牛顿考虑，当 越小时，该平均速度就越接近物体在 时的瞬时速度；如果让 变成无穷小，是不是该平均速度就成为物体在 时的瞬时速度了呢？
当 变成无穷小时，右端的 也变成了无穷小，因而上式右端就可以认为是 。牛顿认为这就是物体在 时的瞬时速度。由于当 变成无穷小时，距离的改变量 也是无穷小，因此牛顿认为，瞬时速度是两个无穷小之比。
牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题。所以微积分就被科技界广泛接受，并得以迅速发展。微积分成为当时数学的重要内容。
但是，当时的微积分主要是给出了一些计算的方法与原则，而在推导上并不严谨，因此遭到指责。由此引发了历史上的第二次数学危机。
2.1.2 贝克莱的发难
英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论。
贝克莱的责难相当直接，他问道：“无穷小”作为一个量，究竟是不是 ？
具体说，牛顿从平均速度的表达式中，让 变成了无穷小，得到物体的瞬时速度，推导中有逻辑上的毛病，平均速度的表达式为
贝克莱说，如果“无穷小” 是0，上式左端当 和 变成无穷小后分母为 ，就没有意义了。如果“无穷小” 不是0，上式右端的 就不能任意去掉。
贝克莱又说，在推出上式时，是假定了 才能做除法，所以上式的成立是以 为前提的。那么，为什么又可以让 而求得瞬时速度呢？
因此，牛顿的这一套运算方法就如同从 出发，两端同除以 ，得出 一样的荒谬。
贝克莱还讽刺挖苦说：既然 和 都变成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不是 ，又不是非 ，那它一定是“量的鬼魂”了！
这就是著名的“贝克莱悖论”
对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家提出的；但是，贝克莱的质问是一针见血的。虽然牛顿及拥护牛顿的人们奋起与贝克莱论战，但是数学家在将近200年的时间里，不能彻底反驳贝克莱的责难。直到柯西创立极限理论，才较好地反驳了贝克莱的责难；直至后来的魏尔斯特拉斯创立“ ”语言，才彻底地反驳了贝克莱的责难。