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摘要矩阵的初等变换是高等代数的一个非常重要的概念。初等变换有着优良的性质及广泛地应用。本文以高等代数的相关知识为基础，结合一些相关的文献成果，对矩阵初等变换的定义和应用两个方面加以整理和探讨。 本论文从追溯矩阵初等变换的起源出发，引出初等变换的定义，并概括了与之相关的重要概念、性质和定理。然后整理矩阵初等变换三种基本变换之间的关系，并得到合同变换和相似变换可以由初等变换构成的结论。最后整理了矩阵初等变换在高等代数和初等数论中的一些应用，并相应举出了一些具体的例子。 10225
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关键词 矩阵 初等变换 初等矩阵 合同变换 相似变换 初等数论 Title The elementary transformation of matrix and its
application
Abstract
The elementary transformation of matrix is a very important concepts of
advanced algebra.Elementary transformation has excellent properties and
extensive applications.Combined with some of the relevant literature
results, this paper is based on some knowledge of advanced
algebra,organizes and explores the definition and application of the
elementary transformation of matrix. Starting from the elementary
transformation of the origin of the matrix,we leads to the definition of
elementary transformation, summarizes the important concepts, properties
and theorems,and sort the relationship between the three basic
transformation of matrix of elementary transformation. Moreover we get
the conclusion of the congruent transformation and similarity
transformation can be composed of elementary transformation. Finally we
collate the elementary transformation of matrix in Advanced Algebra and
Elementary Number Theory and cite some specific examples.
Keywords matrix elementary transformation elementary matrix
congruent transformation similarity transformation elementary number
theory 目录
1 绪论 . 1
1.1研究背景 . 1
1.2本文的工作及结构的安排 .. 1
2 矩阵的初等变换 1
2.1矩阵的定义 .. 1
2.2矩阵初等变换的来源追溯和定义 .. 2
2.3初等矩阵和一些重要的结论 4
2.4三种基本变换之间的关系 .. 7
2.5初等变换构成合同变换和相似变换 8
2.5.1 矩阵间的等价、合同及相似关系 8
2.5.2 几种变换间的关系 .. 10
3 总结矩阵初等变换的应用及举例 12
3.1 矩阵初等变换在高等代数中的应用 . 12
3.1.1 利用矩阵初等变换求逆矩阵 .. 12
3.1.2 利用矩阵的初等变换将矩阵对角化 .. 14
3.1.3 利用矩阵的初等变换求标准正交基 .. 17
3.2 矩阵初等变换在初等数论中的一些应用 . 19
3.2.1 利用矩阵初等变换求整数的最大公因数 . 19
3.2.2 利用矩阵初等变换求解 n元一次不定方程 .. 21
结论 24
致 谢 . 25
参考文献 .. 26
1 绪论
1.1 研究背景
线性代数是应用数学的一个重要分支，矩阵理论是线性代数的主要内容和重要基
础。矩阵理论在工程技术、经济管理、项目分析、科学决策等方面都有广泛的应用。
而矩阵的初等变换几乎贯穿矩阵理论的始终，在矩阵理论中起着特别重要的作用。其