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    图2.3 Dammann光栅分束原理
    2．3  光栅结构参数设计
    2.3.1  光栅复振幅透过率函数
    这一设计问题也类似于光学变换系统中的相位恢复问题：已知成像系统中入射场和输出平面上光场分布，如何计算输入平面上相位调制元件的相位分布，使得它正确地调制入射波场，高精度地给出预期输出图样，实现所需功能。    
    采用相位光栅，则振幅透过率函数为常数，即 。若假设光栅的相位分布为 ，则易知该光栅的复振幅透过率为
                              (2.7)
        为方便得到具体的计算公式，可根据Dammann光栅的结构特性，即矩形台阶的形状，用矩形函数 表示出来[7]，从而将其离散化为
                  (2.8)
    其中， 为光栅各个突变点的坐标，N表示光栅结构中突变点数， 表示 和 之间部分的相位。
    2.3.2  衍射场的复振幅分布
        对于光栅的一个周期结构，显然其光场分布完全由光栅结构中的突变点所决定，而透过率函数是周期性的，可以用傅里叶级数进行展开。根据傅里叶级数的复数形式，可知[3]
        而 就是我们所需的衍射场复振幅分布表达式。
        光栅的结构又可分为对称型和非对称型。其中，对称型的自由参数较少，虽然可以减少计算工作量，但却不利于寻找最佳结构。因此，在本课题中选择非对称型，以便获得较好的结构参数，并且现有计算机的计算能力也能够满足大量运算的需要，在计算上无需担心。
        将式（2.8）离散化的相位分布函数代入上式，可得
               (2.11)
    在积分时还需区分是否为零级衍射，故分为两种情况：
    当 时，有 (2.12)
    进一步化简，可以得到
    而当 时，有
    2.3.3  二元光栅
        考虑到光栅加工的问题，多级相位光栅的加工相对较复杂，因而本课题下选择二元光栅。这样，一方面可以更加便于加工实现；另一方面，也是简化计算的需要。而所谓二元光栅，实际上可以概括为只有一个台阶、只存在两种相位的光栅。如下图，即为二元相位光栅。
    图2.4 二元相位光栅
        要对光栅衍射场各级衍射复振幅进行详细计算，需要给出相邻两个突变区间的相位分布关系。若假设两相位相差 ，即
                               (2.15)
        由于采用的是二元光栅，即实际上整个光栅只有两种相位，因此为方便代入复振幅分布函数公式进行计算，可将第k级相位表示为
                             (2.16)
        于是，当 时，非零衍射级的复振幅公式可表示为
               (2.17)
    而根据式（2.16），有
    所以，当 时，将式（2.18）代入式（2.17），可得到复振幅分布函数
            (2.19)
    又因为光强的计算公式为 ，故可以忽略常数相位因子 ，从而将非零衍射级的复振幅分布函数公式写作
                    (2.20)
    而当 时，同理也可得到零级衍射的复振幅分布函数
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