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图1.1 传统采样(a)与压缩采样过程(b)
1.1.1 信号稀疏表示
设矢量 表示一文离散信号，则其可用一个正交向量组 表示：
(1.1)
其中 是序列 的权重系数向量， ， 称为基向量。在这种基底下，该向量 只有几个数值是非零的，或者可以用几个较大的系数近似表示而不会造成大的信息损失，我们则称 是稀疏的或者可压缩的，这样的基底称为稀疏基[4]。考虑 是通过保留扩展式(1.1)中 的 个最大值来获得的，根据定义可得： , 是系数 最大的 个数值组成的向量。由于 是正交基，有 。当 是稀疏或者可压缩的，那么其经排列后的数值幅度会急速下降，因此 能很好地近似 ，相应的， 的误差也会很小，实现了对信号的稀疏表示。
1.1.2 观测矩阵
观测矩阵的设计原则是在降低文数的同时，保证原始信号的损失尽可能小[5]。用 个不同的观测向量 对信号 进行观测，得到观测值：
(1.2)
其中 , 。对信号进行压缩采样，需要使得每个观测值尽量包含原始信号的不同信息，才能降低采样率，因而测量矩阵 与基矩阵 要尽可能正交。从数学意义上讲，当 满足约束等距性质(Restricted Isometry Property，RIP)时，原始信号可以从得到的观测值中恢复出来。测量矩阵主要有两种：随机测量矩阵和确定性测量矩阵[6]；通常我们会选择随机测量矩阵对信号进行观测。
1.1.3 重构算法
最终我们需要根据这些观测值恢复出原始信号[7]。由于 是 矩阵，因而式(1.2)是欠定的，即满足条件的 是无穷多的，方程无确定解，无法重构信号。但是，由于信号是 稀疏，当 满足RIP时，则 个系数就能够从 个测量值准确重构。压缩感知恢复算法的目的就是通过选择合适的算法找到唯一的最稀疏解 [8]。再利用 的逆矩阵重建原始信号：
(1.3)
信号的重构算法是求解优化解的过程，我们已知所选择的最稀疏的 为 中非零元素最少的，即 的零范数（ 范数）最小的，向量的 范数即为其稀疏度。然而，求解 是一个NP复杂问题