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结 论 26
致 谢 27
参 考 文 献 28
1 引言
1.1 课题的背景
图像是客观世界的某种状态或能量以一定的方式在二文平面上的投影所转化成的一种可视形式，是人类社会活动中常用的信息载体之一。另外，图像中包含着物体的“大量”信息，它传递着物理世界的能量和事物状态的信息，是人们获取外界原始信息的主要途径之一。为了从图像中提取更多的信息，就需要对其进行必要的处理。图像的处理内容一般包括预处理、图像去噪、图像恢复、图像增强、图像分割、采样、量化、图像分类、图像压缩和图像重建等。
本文详细介绍了稀疏表示理论的关键技术和主要算法，稀疏表示理论是最近几年的研究热点问题，同时也引起国内众多研究者的密切关注。目前国内外的研究主要集中于稀疏字典的设计、稀疏分解算法以及稀疏表示模型在图像处理中的应用等方面，尽管取得了一定的成就，仍有很多重点与难点问题亟待解决。
本文详细介绍了稀疏表示理论的关键技术与主要算法，重点在于应用稀疏表示对图像进行表示，同时结合凸优化算法对图像进行重建。
1.2 数字图像处理的概念
数字图像[1]起源于20世纪20年代，当时通过海底电缆从英国伦敦到美国纽约采用数字压缩技术传输了第一副数字照片。此后，由于遥感等领域的应用，使得图像处理技术逐步受到关注并得到了相应的发展。第三代计算机问世后，数字图像处理便开始迅速发展并得到普遍应用。由于CT的发明、应用及获得了备受科技界瞩目的诺贝尔奖，使得数字图像处理技术大放异彩。目前数字图像处理科学已成为了工程学、计算机科学、信息科学、统计学、物理、化学、生物学、医学甚至社会科学领域中各学科之间学习和研究的对象。随着信息高速公路、数字地球概念的提出以及Internet的广泛应用，数字图像处理技术的需求与日俱增。其中，图像信息以其信息量大、传输速度快、作用距离远等一系列的优点称为人类获取信息的重要来源及利用信息的重要手段。因此，图像处理科学与技术逐步向其它科学领域渗透并为其它科学领域所利用是必然的。图像处理科学又是一门与国际民生紧密相连的应用科学，它已为人类带来巨大的经济和社会效益，不久的将来不仅在理论上会有更深入的发展，在应用上亦是科学研究、社会生产乃至人类生活中不可缺少的强有力工具。因此，数字图像处理的研究仍是非常有必要的。
1.3 小波理论与曲波理论
小波分析[2]是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过20多年的探索研究，理论基础更加扎实，应用范围日益广泛。与傅立叶变换相比，小波变换是空域和小波域的局部变换，能根据信号的频域特性自适应地调整时频窗的大小，非常适合非平稳信号分析，被称为“分析信号的显微镜和望远镜”。因此将小波分析应用于数字图像处理已经是不可阻挡，必将称为将来数字图像处理得主流趋势。
小波理论以其时频局域化和多尺度/多分辨率思想，已经广泛应用于图像处理的许多场合。但小波变换也有局限性，它只能反映信号的零文奇异性，即反映奇异点的位置和特性，却无法最优地表示图像中的线奇异；而且小波变换只存在3个方向，即水平、垂直和对角方向，这些都显著影响了它的应用效果。针对小波变换的这些缺点，多尺度几何分析理论逐步发展起来。1999年Candes和Donoho[3]提出第一代曲波(Curvelet)变换，其数字实现比较复杂，而且变换结果存在巨大的数据冗余，因此Donoho等又提出了更为简单的第二代Curvelet变换。第二代Curvelet变换减少了实现过程的参数数目，加快了计算速度，减少了数据冗余，是不连续边缘的优化稀疏表示。与小波变换不同的是，Curvelet变换除了尺度和位移两个参量外，还增加了一个方向参量，因此具有更好的方向识别能力，对图像边缘几何特征的表达优于小波变换，因而具有更好的应用前景。
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