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1.4 文章的组织
基于稀疏表示的图像重建是一个较新的研究课题，虽然现存的算法已取得较好的重建结果，但该技术还有问题待解决。本文的研究结构如下：
第一章为绪论，阐述了课题研究的背景和意义，数字图像处理的概念、小波字典与曲波字典的当前的应用现状，文章的内容和组织结构。
第二章主要介绍了信号表示理论，基于基、框架、字典等表示，在此基础上介绍了稀疏表示一个很有前景的应用，即压缩感知的相关知识，及它的两个理论基础：稀疏性和相干性。
第三章是主要说明小波理论与曲波理论。由于本次研究主要是根据小波字典和曲波字典实现实现图像的稀疏重建，所以这里重点介绍它们的离散变换。
第四章介绍了图像信号复原的相关知识极其稀疏模型在其它方面的一些应用。重点是介绍了基于稀疏正则化的图像复原和凸优化算法。
第五章是本课题的研究实现。分别介绍了小波字典和曲波字典及其它们在图像的稀疏重建过程中的结果及主要指标PSNR的比较。
2 信号表示理论
2.1 基
有限线性空间 的全体基都包含相同数目的向量，这个数称作 的文数。
对于某个文数M向量空间 ，如果存在一组线性无关的向量 ，空间的任意一个向量 可以由这组向量线性表示，即
(2-1)
则称这组向量为空间 的一组基， 是X在基向量上的展开系数。因为基是线性独立的，所以展开唯一。如果 ， ，则这组向量 为空间 的一组正交基。如果 满足 ，则称这组基是标准正交基。
写成矩阵形式 (2-2)
2.2 框架
放宽基向量间的线性无关的限制，对于某个文数为 向量空间 ，如果存在一组向量 （不要求线性无关），且满足如下的框架条件[4]
(2-3)
则称这组向量 构成空间 的一个框架，其中 称为框架的上界和下界。当 时，则称为紧框架，此时任意向量在框架上的展开式满足Parseval条件。如果 且每个向量 的模都是单位长度1，则此时的框架就构成一组正交基。显然框架是空间一种过完备表示形式，它是基概念的推广，它的各个向量之间不是相互满足的，对于任意一个向量 ，它具有如下的信号表示形式
(2-4)
其中 为框架 的对偶框架， ，算子K满足式2-5 (2-5)
2.3 字典
对于某个文数 向量空间 ，如果存在一组向量 只要求对于人一个向量 ，可以通过这组向量 的线性组合对其展开
(2-6)
是 在向量 上的展开系数， 称为合成矩阵，矩阵的列向量为 ，而 称为分析矩阵。此时基向量组成一个超完备集 ，且 ，由于 不是线性无关的，因 此 不是一个基，通常称其为字典，其中的向量 称为原子。采取冗余字典对信号进行表示时，合成矩阵不再是方正，而是一个偏矩阵。给定 和任意的 ，求它的分析表示 是一个欠定问题，有无穷多解。然而，正是信号的超完备表示问题的欠定性，使得信号的稀疏表示成为可能。在某种稀疏度量下，它的求解可以采用著名的匹配追踪算法[5,6]。
2.4 信号的稀疏表示
如前所述，在实际应用中，我们遇到的大多数信号在某个冗余字典下都具有稀疏表示，如常见的一文语音信号和二文图像信号等。所谓信号稀疏表示就是对于某个文数为 向量空间 ，若存在某个过完备或完备的字典 ，信号 在此字典下可表示为式2-7:
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