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1959年，Widrow和Hoff[15] 提出了最小均方（LMS）算法，对自适应技术的发展起了极大的作用。由于LMS算法简单和易于实现，它已被广泛应用。许多专家和学者对LMS算法的性能和改进算法已做了相当多的研究，并且至今仍然是一个重要的研究课题。
LMS算法属于随机梯度算法。属于这一类算法的还有梯度格形和其他一些梯度算法。但LMS算法是目前最重要和应用最广泛的算法。LMS算法是线性自适应滤波算法。一般来说包括两个基本过程：
a)滤波过程，包括计算线性滤波器的输出对输入信号的响应和通过比较输出结果与期望响应产生估计误差；
b)自适应过程，根据估计误差自动调整滤波参数。
假设参考信号为 ，数字波束形成的权向量为 ，则系统输出的信号为:
根据MMSE准则，求最小均方差，则：
(式2.4)
为有用信号和参考信号的互相关， 为有用信号的自相关矩阵。将上式对 求梯度且令其为零可得：
当已知参考波形信号d (n)时，可获得最佳权值，实现方法如下：
其中 为常数，它决定了步速度。其稳定条件为 .为了减小系统的复杂度及计算量，将 近似为瞬时期望值，即：
(式2.10)
则权值迭代式为：
(式2.11)
此式为求 的方法，也即LMS算法。
LMS算法结构简单，硬件实现成本低，当干扰信号数目少于阵元数时，能够较好地抵抗多径干扰，己广泛用于自适应天线系统。
在LMS算法中，提出了 的假设条件，这种提法本度慢，对非平稳信号适应性差，当干扰信号源数多于阵元数时，此算法可能失效。
2.1.3 线性约束最小方差准则（LCMV）
在已知期待信号的来波方向和参考信号的条件下，最小方差准则是通过最小化阵列输出的噪声方差，来取得对信号s的较好的增益。我们知道，波束形成器的输出为：
(式2.12)
为保证波束形成对信号s的增益，我们必须对波束形成器的权向量加以限制，使其在信号s方向产生初始化增益，即
(式2.13)
这里 为期待信号的导引向量。则最佳权重可以表示为:
(式2.14)
除了LCMV算法之外，还有最小均方误差准则（MMSE）、最大信噪比原则（MaxSNR）。 在实际应用中，环境是不断变化的，要求实时地更新权向量，因此我们需要利用自适应算法来递归地获得实时的权向量，而自适应波束形成算法则不仅决定了算法的收敛速度，而且决定了算法硬件实现的复杂度。由此可见，选择合适的自适应波束形成算法是极为重要的。
2.2 自适应波束形成技术
自适应波束形成是阵列信号处理的关键技术之一，它在声纳、通信、医学成像等领域有着广泛的应用。自适应波束形成技术最早出现在声纳和雷达系统中[1] 。1965年，Applebaum提出了完全自适应阵列的概念以及基于最大信噪比原则的自适应算法；接着，Widrow和Hoff提出了利用最小均方误差的算法，在一定的条件下，该算法可以获得良好的性能。后来，Capon提出了极大似然方法，Reed等学者又提出了直接对样本相关矩阵求逆的方法，该方法能够快速收敛，但是计算量较大。自适应波束形成技术经过了几十年的发展，己逐渐走向成熟。
在实际的通信系统中，信道环境、天线阵列和波达角度往往都是随着时间而变化的，因此相应的最优权重向量也在不断变化。自适应波束形成的核心就是不断地调整权重值，使其快速地收敛于最优解以适应实际环境的变化，达到较好的阵列输出性能。自适应波束形成算法是自适应天线阵列的核心，是决定系统性能的重要因素，也是自适应阵列信号处理研究的重点和关键。
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