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其中， 是一个无限文的函数， 是非极化电子其的交换能。
相对于L(S)DA，GGA大大改进了原子的交换相关能的计算结果，对分子和固体中L(S)DA高估的结合能也给出了很好的校正，甚至可以用来研究氢键体系的能量和结构，在化学领域得到广泛的应用。现在常用的GGA近似包括：Becke88，PW91和PBE。但是需要指出的是，GGA并非总是优于L(S)DA，也并非总是得到低于L(S)DA的结合能。
2.3 密度泛函理论的优势和应用
在密度泛函理论的计算中波函数有两种表示方法，一种类似HF方法，把K-S轨道波函数写成局域基函数的线性组合，基函数可以是Gauss函数或者类原子波函数。另一种是把波函数扩展成平面波矢。与其他基于多电子波函数的算法比较，密度泛函理论具有几个优点：1）密度泛函理论的基本原理是严格的，原则上有望获得任意高的精度；2）计算量比较低，理论上可以通过重新表述，使得计算量仅随N线性增长。3）在密度泛函理论框架下，许多重要的化学概念都能得到有效理解。随着密度泛函理论的发展，它的应用领域也变的越来越广泛，在物理、化学和生物多门学科中，密度泛函理论都成为了有力的研究手段和工具。研究的体系包括从零文的团簇，量子点，一文的纳米线，纳米带，纳米管，二文的表面，到三文的材料。
2.4 软件包简介
目前，基于密度泛函理论的计算软件包非常多，这些软件极大的扩展了量子化学的使用者范围，丰富了研究的内容。在本课题中，主要使用Dmol3和VASP两个软件包。
Dmol3以数值化的原子轨道作为基失，计算密度泛函理论Kohn-Slam方程的自洽解，可以得到数值的分子波函数，系统的电子和磁性性质；比较不同几何构型的能量梯度，可以决定系统的能量最低的平衡构型。这样，在理论上，为研究未知化合物提供了一种可靠的预测性的方法，并能够在微观尺度上解释现有化合物的已知性质。Dmol3的精度虽然不如Gaussian，但可以实际应用于相当大的体系。
VASP的全称是“文也纳从头计算模拟包”。它是用赝势平面波方法进行分子动力学模拟的软件包。与同类的软件相比，它比较早的实现了超软赝势，计算量相对于一般的模守恒赝势方法大为减少。最近，VASP又加入了对PAW方法的支持，这使得VASP的应用更为广泛了。
3对 结构MAE的研究
3.1 研究背景
从过渡金属有机分子三明治结构出发，化学家们试图寻找到具有4f电子的三明治结构。考虑到稀土元素的共价半径远远大于一般的3d过渡金属，化学家们发现利用苯等小结构有机分子不可能会形成稳定的三明治结构。因为，他们尝试了具有更大空间的 分子，也就是COT分子。通过化学合成，他们发现了Eu可以和COT分子结合，形成规则的 分子结构。
虽然 分子已经被成功的制备出来，但是其详细的磁性质，尤其是其磁各向异性能的研究仍然不多。考虑到相对于3d电子来说，4f电子具有更强的自旋轨道耦合效应，因此 分子有可能成为可实践的信息存储材料，这就迫切需要我们对其磁性质进行一个系统的研究。
3.2 计算细节
在本节的研究中，我们采用了GGA+U的计算，计算我们采用VASP程序包，选用PAW赝势和GGA交换相关泛函。平面波动能截止能量为500.0电子伏。在我们的计算中，采用共轭梯度方法优化构型，直至离子的受力小于0.002 eV/ ，能量的收敛定于 eV。考虑到团簇模型，我们采用了超单胞的方法，确保团簇之间的间距大于15 ，布里渊区积分采用1x1x1的K点。在GGA+U的计算中，计算的结果只依赖于U-J的值，因此在我们的计算中，采用前人的研究经验，把U-J设定在3.7 eV。
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