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1绪论
机械系统接触问题既在理论上深奥复杂，又在工程上具有重要的应用背景。接触
问题的研究涉及多学科和多领域，它们包括连续体介质力学、刚体力学、结构力学、
实验力学、几何学、计算机和数值算法。自从赫兹开创性地提出接触理论以来，人们
一直试图给出弹性体接触问题的解析解，可是这些解析解只能局限于少数重要而又简
单的几何体。随着计算结构力学和计算机软、硬件技术的不断发展，在 20世纪70年
代有限元法开始应用于计算接触问题，如今人们对静态接触问题已有了充分的认识，
而对动态接触问题，即所谓的碰撞问题研究则是方兴未艾。
带摩擦和碰撞的接触动力学问题，出现在诸如机械、仪器及车辆等许多工业领域
中。尽管接触与碰撞现象普遍存在，但是含摩擦的接触动力学至今还未能被充分地认
识。从工程的角度来看，含摩擦和碰撞的接触动力学的理解和建模对产品设计，例如
对减轻磨损、消除噪音以及提高安全性至关重要。从科学的角度来看，含摩擦和碰撞
的接触的处理非常麻烦却又十分需要，其算法不仅复杂，且计算时间也相当惊人。只
有解决其计算问题，才能在许多情况下模拟其真实过程，改进设计，减少费用，降低
噪声等。
摩擦在日常生活中十分普遍，我们尽量避免一些不必要的热量和噪音的产生，或
制造一些额外的制止力和破坏。在过去500年，有许多科学家对摩擦学进行了详细地
讨论，然而直到今天仍然是知之甚少，特别是在动力学系统中对于非线性干摩擦的发
现和应用。
1.1 问题背景分析
1.1.1碰撞、接触问题的背景分析
关于碰撞、接触问题的研究由来以久，但因其复杂性，到目前为止，还没有一致
的公认的具体解决方法，因此，目前在国际上仍然是研究的热点和难点。
碰撞是物质相互作用的一种形式，其特点是：作用强度很大，而作用时间很短。
接触作为一个概念，同碰撞相比，常常被混淆。在此，我们将接触描述为在有限的时
间内发生的一种连续的过程。如果将接触在法向和切向上加以分解，则切向接触产生
了我们通常意义上的摩擦。
对于物体的碰撞接触问题的研究，一般分为两种方法：
(1)保留刚性接触假设，引入速度突跳，这实际是经典的碰撞理论 H1所包含的内
容。在该方法中，碰撞过程被看成是瞬时的，碰撞力无限大，而碰撞冲量则有限，这
就导致了系统运动过程中位置空间连续，而状态空间可能不连续，即：可以将刚体的
碰撞问题看作是因速度的不协调而引起的奇异性。对于刚性假设而言，必须通过引入
速度的突跳，才能使得系统在碰撞之后，继续按原来的模型继续计算下去。
对于刚体碰撞问题中速度跳断量的计算，一般是通过引入碰撞恢复系数的方法来
得到的。碰撞恢复系数的定义中比较有名的有三种：牛顿的运动学碰撞恢复系数、
Poisson的动力学的恢复系数以及Stronge的能量恢复系数。研究表明：三种定义的恢复
系数均不仅与材料常数有关，而且与碰撞的初始条件，如碰撞点的初始速度、碰撞位
形及多体系统的连接方式等有关。为此，关于碰撞恢复系数的定义及计算依然是研究
的热点，在最近的一些研究报告中，碰撞恢复系数被重新定义为考虑了更多的能量损
耗的能量损失因子。如：Wagg通过能量平衡的方法将碰撞引起的振动效应并入到恢复
系数的定义中，从而得到包含系统位形、碰撞速度以及系统振动阻尼的恢复系数的分