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析表达式。
在刚体的接触问题中，也存在类似的奇异性问题。1895年，Painlevé 在研究宜杆
沿刚性地面滑行时所发现的“Painlevé 疑难”是对这类问题的首次关注。 “Painlevé
疑难”所描述的解的奇异性问题是发生在刚性的单边约束系统中，但这种动力学解的
奇异性并非仅存在于含库仑摩擦与刚性的单边约束的系统中，在含库仑摩擦的双边约
束系统中的某些特定参数下，系统动力学方程也会出现类似的无解及多解的问题。如
在Painlevé -Klein的例子及闸皮系统中都可以遇到这种问题。
上述这类特殊简单的系统中所含的Painlevé 疑难在于：当系统的运动状态进入到
无解或多解的状态时，系统的广义加速度及法向约束力求解问题按原来的方法不能进
行下去。Painlevé 疑难说明完全刚性的约束假定和接触作用力的库仑于摩擦定律在一
定情况下是不协调的。动力学上遇上这种情况有两种摆脱困难的方式：①引进系统的
速度突跳，使系统由动力学的非协调状态突跳到协调状态，继续在原来力学模型下运
动。这种突跳就是所谓“切向冲击"。这里的困难是如何合理地确定突跳规律。②采
用松弛法，放松约束的刚性假定，引进约束的碰撞模型，并研究当此模型刚度充分大
时，系统具有稳定性的动态行为。
(2)放弃刚性假设，在连续的框架内用接触力的形式来表达接触、碰撞作用。这
种接触力的模型可以表现为显式的力与位移的形式，其中较经典的力—位移模型有下
列几种：Dubowsky利用线性弹簧阻尼模型解决含间隙连接铰的碰撞问题，Hertz接触
模型处理非协调接触问题， Shiwasvamy直接从试验入手拟合出改进的Hertz接触模型用
以解决安全帽的建模问题，并且认为对于相对冲击速度较低碰撞宜采用非线性弹簧阻
尼模型，而相对冲击速度较高的碰撞应采用以塑性为耗能机制的双非线性模型。如果
在法向接触力和接触变形间没有明显的函数关系，接触力也可以通过隐式的方式嵌入，
但在接触点需要强加上非穿透性的条件，这种方法通常是通过有限元或边界元来实现
的。
当研究的重点由两个物体的单点碰撞接触问题推广到多体系统的多点摩擦、碰撞
及接触问题时，如果直接按照上述两种方法来处理多点接触碰撞过程，则会产生新的
需要解决的问题。
放弃刚性假设的处理方法也被广泛用于多体系统的多点接触碰撞问题中。 Kraus P
R和Kumar V处理多点碰撞时直接使用了切向和法向的力一位移模型。Kim Sun．Wook
在解决空间机器人的接触问题时直接把有限元模型建立在多体系统的接触构件的局
部上。Kubler Lars和Eberhard Peter为了提高计算效率，把接触时的构件用有限元方法
建模，分离时用刚体建模。
1.1.2互补性问题的数学背景
互补问题是一类重要的优化问题，在实际应用中，它出现在工程物理、经济与交
通等领域；同时，它也出现在约束优化的最优性条件中。
互补问题的标准形式是：给定一个函数