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后利用在各单元内假设的近似函数来分片逼近全求解域上的未知场函数。这些单元可
以具有不同的形状，以不同的连接方式进行组合，因此很容易分析几何形状复杂的问
题。 有限元方法[6]
摒弃了刻画自然规律中局部的、瞬间的数学描述，而以大范围的全
过程的数学分析作为自己的出发点。局部和整体、瞬时和全过程，只是以两种不同的
角度来描述自然现象。一个过程，即可以被微分方程所描述，又服从相应的变分原理，
方法虽不同，却从不同侧面来反映同一自然规律。
数值分析的任务就是从无限文空间转化为有限文空间，把连续型结构转变为离散
型结构。有限元方法是利用函数分片多项式逼近模式来实现离散化过程的，也就是说，
有限元方法所依赖的有限子空间，其基函数系是具有有限支集的分片多项式函数系，
这样的函数系与大范围分析相结合，反映了场内任何两个局部地点场变量的相互依赖
关系。标准正规的有限元数学描述和程序化过程是完美的，其数学基础是完善的和稳
固的，应用对象无论是科学的还是技术和工业的，都是无与伦比的，这就是它取得成
功的关键所在。
有限元法是一种数值方法，在用来求解一般场的问题时，大致要经历如下几个步
骤：
(1)寻找与原问题相适应的变分形式；
(2)建立有限元子空间，即选择元素类型和相应的形状函数；
(3)单元刚度矩阵、单元列阵的计算和总刚度矩阵、总列阵的合成；
(4)边界条件处理和和有限元方程组求解；
(5)回到实际问题中去。
一般情况下，工程问题是物理情况的数学模型。大多数工程问题的数学模型有自
己相应的边界条件和初值条件的微分方程，而这些微分方程组又是针对特定的系统或
控制体应用自然界的基本定律和原理推导出来的。这些控制微分方程代表了质量、力
或能量的平衡。 本科毕业设计说明书（论文） 第 11 页 共 43 页
3．2 有限元法分析过程
3.2.1 结构离散化
应用有限元法来分析工程问题的第一步是将结构进行离散化。其过程就是将要分
析的结构对象用一些假象的线或面进行切割，使其成为具有选定切割形状的有限个单
元体（element）。这些单元体往往被认为是仅仅在单元的一些指定点相互连接，这些
单元上的点则称为单元的结点（node）。这一步的实质就是用单元的集合体来代替原
来要分析的结构。
为便于理论推导和用计算程序进行分析，一般来说结构离散化的具体步骤是：建
立单元和整体坐标系，对单元和结点进行合理编号，为后续有限元分析准备出所必需
的数据化信息。
3.2.2 确定单元位移模式
结构离散化后，接下来的工作就是对结构离散化所得的任一典型单元进行所谓单
元特性分析。为此，必须对该单元中任意一点的位移分布做出假设，即在单元内用只
具有有限自由度的简单位移代替真实位移。对位移元来说，就是将单元中任意一点的
位移近似地表示成该单元结点位移的函数，该位移称为单元的位移模式
（displacement mode）或位移函数（displacement function）。位移函数的假设合
理与否，将直接影响有限元分析的计算精度、效率和可靠性。有限元法发展初期常用
的方法是以多项式作为位移模式，这主要是因为多项式的微分运算比较简单。而且从
泰勒级数展开的意义来说，任何光滑函数都可以用无限项的泰勒级数多项式来展开，
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