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图17 用于表征光源辐射图的球面坐标系
面发射的LED利用朗伯光源的输出方向图来表征，这种方向图意着不论从任何方向观察，光源都是等亮度的。在相对于发射面法线θ的角度上，测量出光源发出的功率随cosθ变化，因为随着观察方向的变化，发射面的投影也随cosθ变化。因此，朗伯光源的发射方向图使用下面的关系式来表示：
B（θ，Φ）=B0 cosθ （25）
等式中，B0是沿辐射面法线方向的辐射强度。这种光源的辐射方向如图18所示。
图18 朗伯光源的辐射方向图，光源的B0是归一化的
②功率耦合计算
为了计算耦合进光纤的最大光功率，首先考虑如图19所示的亮度B(AS,ΩS)对称光源的情况，其中AS, ΩS分别是光源上的面积和发射立体角。其中，光纤的端面在光源发射面中心之上并且其位置尽可能地靠近光源。耦合效率可以用下面的关系式计算 ：
（26）
等式中，光纤的端面和容许的立体接收角定义了积分的上下限。在这个表达式中，首先将处于发射面上的一个单独的辐射点光源的辐射角分布函数B（θ，Φ）在光纤所允许的立体接收角上进行积分，这一积分就是括号内的表达式，其中θ0，max是光纤的最大接收角，它与数值孔径NA有关，并且可以通过式NA=n*sinθ0，max计算得到。总的耦合效率可以通过计算面积为dθs*r*dr的每一个单独发射源所发射的光功率总和来决定，也就是在发射面积上进行积分。为了简化起见，将这里的发射面视为圆形。如果光源的半径rs小于光纤的纤芯半径a，那么积分上限rm=rs，如果光源面积大于纤芯的面积，则rm=a。
图19 光源耦合进光纤示意图，在允许的角度以外的光将损失掉
③微球透镜耦合效率
一种最有效的聚焦方法是非成像微球的使用。让我们首先考查它用于如图14所示的面发射光源的情况。首先进行以下的符合实际的假设：球型透镜的折射率为2.0，外部介质为空气（折射率n=1.0），并且发射区是圆形的。为准直LED的输出光，发射表面应该位于透镜的焦点处。焦点的位置可以使用高斯透镜公式来计算 ，即：
（27）
等式中，s和q分别是从透镜表面测量的物距和像距，n是透镜的折射率， 是外部介质的折射率，r是透镜表面的曲率半径。
在（27）式中，我们使用了以下的符号规则：
1. 光线从左到右传播；
2. 物距的测量以顶点的左方为正，而以右方为负；
3．像距的测量则以顶点的右方为正，而以左方为负；
4.所有遇到光线的凸面有正的曲率半径，而凹面则有负的曲率半径。
根据这些规则，我们可以找到透镜的右边表面的焦点，如图20所示，为了找到焦点，令 ，同时由（19）式解出s，这里s是从B点开始测量的。设n=2.0， =1.0， ，且 ，则从（19）式可得出下面的等式，即： （28）
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