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(3.4)
式中方括号内各项及所有的fi0都是时间t的已知函数。
3.2.2运动方程组的线性化
为了使线性化后的扰动方程比较简单，对未扰动运动做如下假设[16]：
(1) 未扰动运动中侧向运动参数 和侧向操纵机构偏转角 及纵向参数对时间的导数 均很小，有关量可略去；
(2) 未扰动飞行中，偏导数 为一小量；
(3) 忽略弹体结构参数偏量 ，大气压强偏差 ，大气密度偏量 ，坐标偏量 对扰动运动的影响。
(4) 所研究的制导炮弹为轴对称型。
根据微分方程线性化方法以及上述假设，可将方程组(2.6)线性化为：
(3.5)
式中的上标表示对上标参数求导，Fgx、Fgy、Fgz是引入的由于干扰作用产生的干扰力，Mgx、Mgy、Mgz是干扰力矩。这就是线性化后的扰动方程组。
3.3制导炮弹的纵向扰动方程
在扰动运动中，如果干扰作用或俯仰操纵机构的偏转仅使纵向运动参数有偏量，侧向运动参数仍保持未扰动飞行时的数值，这样的扰动通常称为纵向扰动运动；如果仅侧向运动参数有偏量，称为侧向扰动运动。
在对制导炮弹进行动态特性分析时，对纵向扰动运动和侧向扰动运动可以分别独立进行，但必须满足以下几个条件[18]：
(1) 炮弹相对纵向平面O1x1y1对称；
(2) 运动参数对其未扰动值的偏量足够小；
(3) 在未扰动飞行中，侧向运动参数和纵向运动参数对时间的导数值足够小。
本论文主要研究制导炮弹的纵向扰动运动。
从式(3.5)可以看出扰动方程组可以分为两个独立的方程组，一组是描述纵向运动参数偏量 的变化；另一组是描述侧向运动参数偏量 的变化。因此可以得到制导炮弹的纵向扰动方程式：
(3.6)
公式(3.6)中可以看出，变量有运动参数偏量 。其中，偏量 不包含在其他方程里，可以把描述这两个量的方程独立出来，这样纵向扰动方程组变为：
(3.7)
现在引入方程系数的简化表示符号，纵向扰动方程可以改写为：
(3.8)
系数 称为动力系数，用来表征制导炮弹的动力学特性，相应表达式如下：
几个常用动力系数的物理意义如下[16]：
表征制导炮弹的空气动力阻尼。 表征制导炮弹的静稳定性。 表征升降舵的效率。 表示弹道倾角偏量为一个单位时，由于重力所引起的弹道切线转动角速度的偏量。 表示攻角偏量为一个单位时，所引起的弹道切线的转动角速度偏量。 表示操纵机构偏转一个单位时，所引起的弹道切线转动角速度的偏量。 表征气流下洗的延迟对俯仰力矩的影响。
3.4本章小结
本章首先介绍了求解非线性微分方程的一种方法——小扰动法；然后应用小扰动法对微分方程进行了线性化研究，实现了制导炮弹运动方程组的线性化；接着介绍了扰动运动的有关概念，将扰动运动分解为水平面内的侧向运动和垂直面内的纵向运动，得出了纵向扰动方程组，并引入了动力系数的概念。
4 制导炮弹的纵向动态特性分析
研究动态性质，一般先研究弹体受到偶然干扰作用时，未扰动运动是否具有稳定性，这就要求分析自由扰动运动的性质；除此之外，还要研究弹体对控制作用的反应，也就是操纵性问题，分析过渡过程的品质。
4.1 纵向短周期自由扰动
4.1.1 短周期自由扰动
制导炮弹的自由扰动运动可以分为两个阶段，第一阶段是快衰减的短周期运动，第二阶段是慢衰减的长周期运动。当设计制导炮弹及其制导系统时，只研究扰动运动的短周期阶段。因为控制飞行必须控制法向力，而控制法向力是通过改变攻角和侧滑角来达到的，攻角实际上仅在短周期内变化[19]。
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