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1.3 奇异摄动系统的研究与发展[2]
四旋翼飞行器的快慢特性，使得控制器的设计很难在兼顾两个量级的极点的同时保证控制精度。为了提高精度，我们引入一种处理此类特性系统的理论—奇异摄动理论。
实际的系统在建模过程中，总是会因为存在一些小的惯量或者时间参数，使得其数学模型有非常高的阶数和病态的特征。以往我们处理此类系统的方式是：通过忽略小的时间参数来对系统进行降阶近似。但对于一些对精度要求高的系统而已，这样的方法就不适用了，其控制效果也常常不尽人意。而奇异摄动法，即是提高此类特征系统控制精度的研究方法。
摄动问题最早可以追溯到19世纪天文学的研究。而实际应用与控制系统则是起于上世纪的60年代。其基本的思想是先忽略快变量来近似系统，然后加入边界层来提高近似程度，即用两个子系统来表现原系统的性质。从时标上而言，即是通过2个时间尺度来描述系统。其快慢子系统思想与时标的变化，拉近了系统的不同量级的极点，同量级的极点给我们设计控制器带来了方便。
1.4 奇异摄动系统的LQR与H∞控制
(1)LQR控制
上世纪70年代就有关于奇异摄动系统的二次型最优控制的理论研究了。奇异摄动系统的小参数，对于一般Riccati方程求解有不利的影响，我们将其分解成快慢子系统后，分别设计LQR控制器。最终应用到原系统的LQR，从本质上而言是一种次优控制。
Kokotovic等人给出了不受摄动参数影响的控制器设计方式，但其系统没有严格分解，且慢子系统在设计控制器要受快子系统的影响[4]。DERBELN在Kokotovic的基础上给出了修正算法，提出了快动力学的降阶控制思想以及最优控制的低阶近似的思路[5]。
(2)H∞控制
上世纪有S M Shahru研究此种问题，他提出可以通过两个降级子系统的H∞控制问题来实现原奇异摄动系统的H∞控制[6]。N Rridmane则使用了更加严格的分解设计出性能更好的控制器，并实现次优H∞控制[7]。Mukaidani H等通过Recursive从Riccati方程中求解出了更简单同时保持高精度的控制器[8]。W Tan基于广义系统，分解Riccati方程，提出一个与摄动参数无关的H∞次优控制器存在的前提[9]。
1.5 本文的主要工作
本文将首先通过建立四旋翼飞行器的数学模型，分析其运动特性，建立分运动下的数学模型，并将其线性化。再将奇异摄动理论和LQR与H∞理论相结合，设计适用四旋翼飞行器的控制器。具体步骤如下：
(1) 根据牛顿的运动学定理建立起数学模型，并根据其飞行方式分运动，划分若干简单运动模式，然后利用小扰动分析法对各个运动模式建立线性模型。
(2) 利用LQR思想，设计分运动后线性化模型的LQR控制器，再设计奇异摄动模型下的LQR控制器，分别应用与原系统并作比较分析。
(3) 利用H∞控制思想，设计分运动后线性化模型的H∞控制器，再设计奇异摄动模型下的H∞控制器，并应用与原系统进行仿真验证。
(4) 分析对比两种控制方式的优缺点。
(5) 最后是总结和展望。
2 四旋翼飞行器数学模型建立
四旋翼飞行器机身上有四个关于中心对称旋翼，并可以垂直升降的飞行器。相对于单个旋翼，四旋翼的叶片相对机身小很多，这使得飞行器的控制和稳定难度降低。另外由于其组建和文护的简易性，还有悬停和垂直升降的能力，四旋翼飞行器经常以测试平台的的角色出现在实验室中。
从第一部分介绍可知，控制算法对可控飞行的作用至关重要。而为了设计一个性能良好的控制器，首先要建立好能够精确描述飞行器动力的数学模型。
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