2.1 运动坐标系及其转化
描述一个飞行的飞行状态,必不可少的是坐标系的建立。通常用两个坐标系刻画飞行器飞行状态,一个是地面坐标系,另一个是机体坐标系[17][18]。下面介绍这两种常用坐标系:
1)地面坐标系
此坐标系用于描述飞行相对地面参考点的运动,该坐标系原点O定于地球表面,XYZ是典型的三文直角坐标系,其中XOY平面为水平面,OX轴向人为指定,OZ正向满足右手定则。
2)机体坐标系
此坐标系的原点O定于机体的重心,XYZ亦为三文直角坐标系,XOY平面与飞行器平行,其中OX正向指向飞行器的前(OX轴经过两个电机),OY正向指向飞行器的右(OY轴也经过两个电机),OZ正向与OX和OY满足右手定则。
3)坐标变换
我们引入欧拉角描述地面坐标系和机体坐标系的角度关系:
横滚角 :OX轴单独旋转后,OZ相对原来轴向的角度,从OX正向看入,逆时针为正。
俯仰角 :OY轴单独旋转后,OX相对原来轴向的角度,从OY正向看入,逆时针为正。
偏航角 :OZ轴单独旋转后,OY相对原来轴向的角度,从OZ正向看入,逆时针为正。
2.1欧拉角示意图
由于三个角是相互独立的,我们可以分别建立坐标变换的矩阵R,设机体坐标系下坐标为X,地面坐标系下坐标为Y。由图我们可知,各个欧拉角引起的坐标变换矩阵如下:
最终的变换矩阵:其中:
我们可以得到机体坐标系下坐标到地面坐标系的变换:
Y=RX
其中变换矩阵R是一个正交矩阵,则其逆矩阵即为其转置矩阵。
2.2 四旋翼飞行器动力学模型
建立飞行器数学模型之前还需要做以下几个假设:
1)飞行器是刚体,且严格对称;
2)机体坐标系的原点与飞行器质心重合;
3)机翼固定不会移动。
基于以上3点假设,我们根据牛顿的力学分析,在地面坐标系下,可以写出如下动力学方程描述飞行器运动[19]:
其中F为飞行器所受合外力,m为飞行器的质量,V为飞行器速度,M为飞行器所受合力矩,H为飞行器相对地面坐标系的绝对动量矩。
分析机体受力,可知其合力由重力,阻力以及升力三部分构成,假设电机转速为 ,重力加速度为g,则重力:
(2-7)
而由飞行器的动力学可知,旋翼的升力和相对中心的扭矩都是和旋翼转速的平方成正比,可做以下假设:
扭矩:升力:
其中两个未定系数k皆可通过实验来测定。因为是假设理想环境,这里忽略阻力的影响。再考虑坐标变化,原系统动力学方程可以进一步改写为:
由欧拉定理可知,欧拉角的角速度 和机体的对应轴向 角速度有以下关系:
由于飞行器的对称性,我们假设飞行器的惯性矩阵为[20]:
由于四旋翼飞行器的对称性和中空性,非主对角线的转动惯量叫主对角线上的转动惯量要小很多,我们可以将其近似为0。
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