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f(x+y)=f(x)+f(y) (3.2-4)
的非降函数f(x)必为线性齐次函数，即f(x)= λx,其中λ为常数或+∞，即可推知
-ln =λt, (3.2-5)
其中λ为常数或+∞。
由(3.2-5)，
λ=-ln , (3.2-6)
由于 为一概率，故知0≤λ≤+∞。但由(3.2-2)，λ=0时， ≡1，它表示在不论怎样大的区间[0，t﹚内都没有顾客到来，这种根本没有顾客的流当然不需作任何讨论。而λ=+∞时， ≡0，它表示对不论怎样小的t, [0，t﹚内总会有顾客的到来，因而对不论怎样大的k，在有限区间内来的顾客数总大于k。换言之，在此有限区间内必然来无限多个顾客，与此有限性的假设矛盾。所以，以后永远假定0＜λ＜＋∞。
故由(3.2-2)，
（3.2-7）
其中λ>0为一常数。因而对k=0的情形已证明了(3.2-1)式。
现在证明k＞0的情形。将[0，t﹚区间n等分，记 ≡Δ，我们有
=P{[0，t﹚内到达k个顾客﹜
=P﹛[0，t﹚内到达k个顾客，并且至少有一个小区间内到达多于一个顾客﹜+P﹛[0，t﹚内到达k个顾客，并且每一小区间至多只到达一 个顾客﹜
(3.2-8)
由普通性即知，
≤P﹛至少有一个小区间内到达多于一个顾客﹜
≤ =t →0, n→∞。
而由平稳性及无后继性，即知：