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摘 要：环论的研究不断发展,日臻完善,现在已成为代数学研究的一个忠要分支,理想在环论中也占有重要的地位.本论文通过对环的理想性质的分析及其运用的简单剖析,讲述了环的极大理想的性质和极大理想的运用,介绍了模 剩余类环理想的性质,分析矩阵所有理想及Guass整环 理性的构造,并进行一定的归纳总结．10834
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关键字:理想；主理想；Guass整环；模 剩余类环
Discussion ideal ring
Abstract: Research continues to develop ring theory, improving , algebra study has now become a branch of allegiance to the ideal in the ring theory also plays an important role.based on the analysis of the ideal nature of the rings and the use of simple analysis , tells the story of a great ideal and maximal ideal nature of the use of the ring, describes the residue class ring mold, desirable properties,triangular matrix on the analysis of all the ideals and Guass whole ring of rational structure, and some summarized.
Key words: Ideal; Principal ideal; Guass entire ring; Mold residue class ring ．
目 录
摘 要 1
引言 2
1．预备知识 3
2．环的理想的性质 4
3．环的极大理想的性质 6
4．模 剩余类环理想 的性质 7
5．矩阵环理想的性质 7
6．Guass整环 的理想的性质 10
参考文献 13
致谢 14
环的理想的探讨 引言环论十九世纪关于实数域的扩张和分类的研究．后在魏得邦（J．H．M．Wedderbuen），诺特（A．E．Noether），阿廷（E．Artin）及雅各布森（N．Jacobson），等人的不懈努力下，环论的研究不断发展，日臻完善． 现在已成为代数学研究的一个重要分支． 理想概念是现代抽象代数学特别是交换环理论最核心的概念之一，也是研究代数数论学科的必不可少的基本工具，担当着抽象环论中最为重要的角色．
随着对环的理想的探究的不断深入，很多学者在这个领域取得了很多不错的研究成果，文献[1][10]中环的理想，主理想，素理想，极大理想及一些理想的定义性质;[2][6]中简单介绍了模 剩余类环的理想;[3][8][9]探讨Guass整环中理想的简单构造问题;[4][7]中探讨了矩阵环理想的性质及应用．
本文就在上述文献研究的基础上，通过对环的理想性质的分析及其运用的简单剖析,讲述了环的极大理想的性质和极大理想的运用,介绍了模 剩余类环理想的性质,分析矩阵所有理想及Guass整环 理性的构造,并进行一定的归纳总结,使其更有条理性．通过研究环的理想，更有利于解决很多代数数学中的问题．
1．预备知识
定义1.1 设 是环 的一个子加群，即对 中任意元素 差 仍属于 ．如果又有
则称是 环 的一个左理想；并称 满足左吸收律．
如果，
则称 是环 的一个右理想；此时称 满足右吸收律．
如果 既是环 的左理想又是右理想，则称 是环 的一个双边理想，简称理想，并用符号 表示；否则记作 ．
定义1.2 设 是一个交换环，又 ．如果
或
其中 ，则称 是 的一个素理想．
定义1.3 设 是环 的一个理想，且 ．如果除 和 外， 中没有包含 的其他理想，则称 是环 的极大理想．
定义1.4 任意去一个正整数 ，集合 是由 个剩余类
作成的，任取 ，规定: ， ．
由此知乘法满足结合律和交换律，且乘法对加法满足分配律，故 做成一个环，且是一个 阶有单位元的交换环，我们称其为以 为模的剩余类环，简称模 剩余类环．