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定义1.5 做成一个整环，这个环成为Guass整环．
定义1.6 设 是一个环，任取 ，则 中包含元素 的理想总是存在的，因为比如 本身就是一个，易知， 中包含 的全部理想的交也是 的一个理想，且是 的包含元素 的最小理想．这个理想记为
，
并称其为 的由 生成的主理想．
定义1.7 设 为环 的 个子集，令
={ ︱ }，
并称其为子集
在环 中任取 个元素 则由定理知
是环 的理想．这个理想简记为
并称其为由元素 生成的理想．它显然是环 中包含元素 的最小理想．
引理1.1 设 , ，则存在 ．使 ，且 ．
引理1.2 设 ，且 ，则 ．
引理1.3 时，整环 对于 作成欧式环，其中 ．
是正整数,环 上的全体 阶矩阵, 全体 阶上三角形矩阵对于矩阵的普通加法和乘法作成环 , .
引理1.4 设 是一个环， 是环 的理想，则 是 的理想．
引理1.5 设 是一个环， 是 的理想，令