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          虽然   
          但是  而非趋于0 .
    由上述定理可知,一致连续的函数, 当自变量变化很小时, 引起函数值的变化也很小, 为无穷小量,表现在图形上就是:其图像在区间上平缓地变化的; 而由上述的两个例题可知,非一致连续函数,当自变量变化很小时, 引起函数值的变化并不是无穷小量,表现在图形上就是:其图像在区间上是陡峭的.
    当 接近于某 时, 函数图像接近垂直于 轴, 则函数在以 为端点的小区间内一定非一致连续.从而要证非一致连续时, 要寻找的特殊点就应在 附近取.
    2. 一元函数一致连续性的判别
    2.1 一元函数一致连续性的常用判定定理
    定理   若函数 在 上满足:对  ,   ,有   , 为某一常数,则 在 上一致连续.
    定理   已知 为 右端点, 为 的左端点, 若 在 和 上一致连续,则 在 上也一致连续.
    定理   函数 在区间 上一致连续的充要条件是在区间 上满足 的任意两数列 、 , 必有 .
    定理2.1,定理2.2和定理2.3的证明过程可参看参考文献[1].
    定理2.4  函数 在有限区间 上有定义, 那么 在区间 上一致连续的充分必要条件是任意Cauchy列 , 有 也是Cauchy 列.
    定理2.3和定理2.4的必要性常被用来判定一个函数不是一致连续的.
    2.2利用导数判定一元函数一致连续性
        定理2.5 设函数 在区间 上可导,且其导函数 在区间 上有界,则 在区间 上一致连续.
    推论1  设 在 上连续,在 可导,若 在 的某邻域内有界,则 在 上一致连续.
        推论2  若 在 上可导,且 在点 的某右邻域内有界,在点 的某左邻域内有界,则 在 上一致连续.
    推论3  若 在 上可导,且 和  都存在,则 在 上一致连续.
    推论3反之不一定成立.
    例3  函数 = , .
    事实上,由 .知 在 上一致连续.但  ,其
     .
    定理2.6  设 在 上连续,在 可导,且 ,则 在 上一致连续的充分必要条件为  .
    例4  ,  ,其中 ,且 ,  . 在 上的一致致连性?
    解  ,  . 由定理2.6知 在 上是一致连续的.
    例5  ,  ,其中 , 在 上的一致连性?
    解   ,  .由定理2.6知,当  时, 在 上一致连续;当 时, 在 上不一致连续.

    2.3一元函数一致连续性的比较判别法
    定理2.7  设函数 和 在区间 上可导,若存在 使得对任意的 ,都有  ,则有
    1) 当 在区间 上一致连续时, 也在区间 上是一致连续的.
    2) 当 在区间 上不一致连续时, 也在区间 上是不一致连续的.
    证明:  1)由 在 上一致连续,即对  ,  ,当 且 时,有
      .由Cauchy中值定理,在 和 间存在点 ,使得  
    也即是 ,
    所以 也在区间 上是一致连续的.
    2) 假设 在区间 上是一致连续的,则由1)的结论知 也在区间 上是一致连续的,与已知矛盾.
    推论1  设函数 和 在 上连续,在 内可导,且  ,则有
    1)当 时,若 和 中有一个在 上一致连续,则另一个也在 上是一致连续的;
    2)当 时,若 在 上一致连续,则 也在 上是一致连续的;
    3)当 时,若 在 上不一致连续,则 也在 上是不一致连续的.
    证明   1)当 时,由局部保号性,存在  ,使得当 时,有
     ,即 .
    根据定理2.7,易得结论.
    2)当 时,由局部保号性,存在  和 ,使得当 时,有 ,即 .由定理2.7,易得结论.
    3)当 时, ,由2)的结论知,若 在 上一致连续,则 也在 上一致连续,矛盾.所以当 在 上不一致连续, 也在 上不一致连续.
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