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[1]
。可见线性代数作为一门数
学课程，要应用于生活中还是要转化为工程来进行研究，计算机与线性代数就此结
下了不解之缘。
本论文所研究的是线性代数中的线性变换，在对线性变换基本概念的研究基础
上，主要讨论几何意义上的表现。一般来说，线性变换是在向量空间中完成，向量
空间又称为线性空间，向量是由解析几何中引入的概念，从向量的角度讨论线性变
换使得许多问题变得更为简洁和清晰。讲到变换，肯定要涉及到矩阵，线性变换的
主要元素就是矩阵，从广义上讲线性变换就是矩阵与向量结合到一起的变换，在向
量空间中，线性变换的基也就是其中变换矩阵的基，而基向量与线性变换的存在性
与唯一性也是一个非常重要的研究内容，在这里不做讨论。再者，在解线性方程组
的过程中，矩阵的初等变换起了非常大的作用，这样又将线性变换与线性方程组联
系起来。总之，线性变换贯穿整个线性代数，深入了解线性变换对线性代数的学习
有很大帮助。
1.2 线性变换的几何背景
线性变换是数学变换中的较为基础的一类变换，是线性代数研究的一个对象。
由于线性变换在代数的基础上是复杂的，所以很多研究人员都致力于将线性代数与
几何图形结合到一起，从几何的角度来解释线性变换的意义，并且将线性变换应用
于其他更多的领域。线性变换其实是我们生活中日常运作所映射出来的，从最简单的几何图形变换开始，比如说建筑物在阳光的照射下会形成影子，这是在平面上的
镜面投影，是一种最简单的变换。正是从生活中总结出一些常见的变换例子，得出
了比较浅的经验，同时又发现了线性变换在高文空间的问题，所以人们对线性变换
的研究一直很热衷。1872年，德国数学家克莱茵在德国爱尔兰根大学的一次学术报
告中提出，几何学的任务就是研究在一定的线性变换下图形的不变性质[2]
。而且他把
线性变换放在了射影几何上，得出了它与欧式几何的一些不同点，并且简单介绍在
射影几何领域研究线性变换的方便性，通过线性变换的分解确认了一个图形在运动
之后保持形状不变，它的这种运动会是某些运动的乘积，从而实现线性变换验证几
何现象的目的。线性变换在几何图形上显示着与平常抽象概念不同的意义，所以将
线性变换与空间几何结合在一起，许多疑难问题都会迎刃而解。
1. 3 线性变换与计算机语言实现
线性代数的计算是十分冗繁的，解四阶的方程组要做几十次的乘法和加法，所以
我们引入了科学计算软件 MATLAB，任何的高阶计算都可以几分钟解决，使得理论
联系实际得以实现，这样下来可以节省计算时间，可以将更多的精力放在其他问题的
研究上。学习线性变换的过程中，首先要把自己所看到的所感受到的一些现象反映为
知识层面，才能慢慢梳理组成概念，然后将抽象的概念用理性的思文再次浏览，称为
一个整体的轮廓。为了将线性变换的几何形象更好地呈现出来，近现代使用的最广泛
的研究方法就是将线性变换与数学软件结合起来。线性变换过程中难免会涉及到矩阵
计算和行列式化简之类的数值计算问题，以上提到利用 MATLAB 软件会很快得到结
果，而同时 MATLAB 软件也可以制图，所以 MATLAB 软件是研究线性变换时使用最
多的工具。
综上，本论文属于综述性文章，首先简单介绍线性变换的基础知识，然后从线性