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2.5.2 误差估计 14
2.5.3 实例 14
3 迭代公式的改进 16
3.1 简单迭代法的改进 16
3.1.1 迭代格式 16
3.1.2 数值实验 17
3.1.3 改进前后迭代法比较 19
3.1.4 实例 20
3.1.5 结论 21
3.2 弦截法的改进 21
3.2.1 迭代格式 21
3.2.2 数值实验 24
3.2.3 改进前后迭代法比较 25
3.2.4 实例 25
3.2.5 结论 26
4 非线性方程组求解的迭代法 27
4.1 求解非线性方程组的迭代法 27
4.1.1 简单迭代法 27
4.1.2 加权简单迭代法 28
4.1.3 实例 28
4.1.4 结论 31
5 总结 32
致谢 33
参考文献 34
附录 35
1 引言
1.1 课题的目的和意义
数值分析（numerical analysis）是研究分析用计算机求解数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，为计算数学的主体部分。它包括插值法，函数逼近，曲线拟和，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组的迭代法，非线性方程求根，常微分方程的数值解法等。数值分析一直不断的在改进，在许多实务的问题中，精确值往往无法求得，或是无法用有理数表示，数值分析的目的不在求出正确的答案，而是在其误差在一合理范围的条件下找到近似解。现代计算机的出现为大规模的数值计算创造了条件，集中而系统地研究适用于计算机的数值方法立即变得十分迫切和必要。数值分析这门学科有如下特点：面向计算机、有可靠的理论分析、要有好的计算复杂性、要有数值实验及要对算法进行误差分析。
在工程和科学计算中，如电路和电力系统计算、非线性力学、非线性积分和微分方程等众多领域中，都用到求解非线性方程问题[3]。所谓非线性方程，就是因变量与自变量之间的关系不是线性的关系，这类方程很多，例如平方关系、对数关系、指数关系、三角函数关系等等。工程中有许多问题常为解非线性方程f(x) = 0，对于很多实际情况难以求得根的精确值，只能求出近似根，所以说非线性代数方程求根是一门具有广泛应用价值的学科。国内外数学家在此领域创立了许多著名的算法。非线性方程求根最为常用的是迭代法。迭代法是计算方法中的一种基本方法，非线性方程求根最常用的迭代法主要有简单迭代法，牛顿迭代法和弦截法等[9]。迭代法是数值计算中的一类典型方法，不仅用于方程求根，而且可用于方程组求解。牛顿迭代法就是一个例子，它具有较高的收敛速度和简单灵活等优点，而且可以推广到求解非线性方程组。迭代是数值分析中通过从一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决问题的过程，为实现这一过程所使用的方法统称为迭代法（Iterative Method）。迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法。首先选取一个近似值，然后用同一个递推公式反复校准这个初值，直到满足给定的精确度为止。