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摘要 本文从欧氏几何入手，讨论了非欧几何的产生与发展，介绍了欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何之间的关系，讨论非欧几何的发展对数学的启示.关键词 欧氏几何；非欧几何；教育教学
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几千年来，大家对于欧氏几何的任何结论都认为是历史发展的必然，对欧氏几何也看作是我们生存空间和宇宙的唯一几何.但是非欧几何的开创，打破了近千年来许多数学分支的平衡发展,同时对现代科学，尤其是对宇宙学、物理学的发展以及人类时空观念的进步产生了深远影响.伟大的物理学家爱因斯坦曾经说过：“已经有大量的根据可以说：从非欧几何发展起来的思想是极富有成效的”.26859
一、 非欧几何的发展
人类社会的发展是一个不断前进的过程，非欧几何的诞生也起着不可或缺的作用．通常来说，人们认为非欧几何就是黎曼几何和罗氏几何这两大体系，但是，它又不单单这是这两大系统，下面，我就从几个方面来说说．26859
1． 欧几里得的《几何原本》
“几何原本”是由少量的“自明”的定义、公理，用逻辑推理的方法，选择少数的原始概念以及并没有命题的定义，公设和公理的证明，使他们的出发点整个系统和基本原理和运用逻辑推理来证明其他命题，演绎出了系统的整体形状． 《几何原本》成为人类文明的瑰宝，开创了人类对空间，宇宙源的数量之间关系的认知，成为人类历史上的科学杰作．
《几何原本》一共13卷,欧几里得在第1卷中就给出了5条公设:
Ⅰ 从任意一点，到任意其它的点一定可以引直线
Ⅱ 每条直线都可以无限延长.
Ⅲ 以任一一点作中心,选取任意半径可以做一个圆周.
Ⅳ 所有直角彼此相等. 论文网
Ⅴ 如果直线和两条线相交，并且位于同方向的两个内角和比180°小，那么无限延长这两条直线一定会交于一点并且位于同侧.
这些看似自然的公理和公设，存在着不少的不完善之处．比如，欧几里得尽力避免使用无穷，但是它却不可避免地要与无穷打交道；另外，欧几里得本人也在回避第五公设，最后，数学家希尔伯特在前人工作的铺垫下，总结经验，1899年，他出版了《几何基础》一书中提出了几何公理的一个比较完整的体系，这个公理系统就用这个人命名，叫做希尔伯特公里体系．
那么，在一个公理体系中是该用什么公理，大家并没有评判的标准.于是，希尔伯特在提出这样一个完整的体系后，经过一系列的研究，最后得到一个基本原则关于公理体系，要注意如下几个方面：
一、相容性，就是每条在这个公里体系中的公理是不应该互相矛盾的，在同一个系统中，它们是相互依存的.
二、独立性,每条在公里体系中的公理应该是各自独立而且不相互依附的，任何一条公里都不可以从其它公理中延伸出来.
三、完备性，应包含足够的公理公理系统，证明该学科的任何新命题.
2.非欧几何的产生
对于非欧几何的诞生，主要来源于欧几里提出的第五平行公设.几千年来，对于第五公社的探索，数学家们看到了一个奇怪的现象，那就是它比前面四个公设复杂，文字冗长而且叙述繁琐，并且不是那么地显而易见. 直到非欧几何被发现的2000多年中，许多的数学家对此进行了研究,数学家们主要沿用两种方法来试图解决这个问题：一种方法是试图从其它公理、公设推导出平行公设来，即试证第5公设;另一方法是增加或改变第五公设.
第一种方法，1733年,意大利数学家撒开里（Gerolamo Saccheri，1667-1733）做了尝试，引出了许多令人匪夷所思的几何结论:如三角形内角和小于平角,过直线外一点可以作许多条直线与已知直线相互平行……他认为这些得到的结论不合常理,因此认为自己导出了矛盾,因而否认了锐角假设.瑞士数学家Lambert同时也研究了一类四边形，得到其中三个角为直角，那么第四个角就可能有以下三种：锐角，直角和钝角．在锐角的假设下，三角形的面积由此取决于其内角和，直角假设下显然为欧氏几何；而在钝角假设下导出了几何命题恰巧也在球面上成立. 他的这些思想启示就是非欧几何思想的萌芽.